# Dérivée de e^(2x) : formule, étapes et exemples

> La dérivée de e^(2x) est 2e^(2x). Les étapes de la dérivation en chaîne, une seconde preuve avec (eˣ)², les dérivées successives, la courbe et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-e-puissance-2x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} $$

## En bref

- **Dérivée:** $2e^{2x}$
- **Dérivée seconde:** $4e^{2x}$
- **Dérivée n-ième:** $2^n e^{2x}$
- **Forme générale:** $\dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$
- **Version intégrale:** $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

## À retenir

- La dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$ : la dérivée de l'exposant, $2$, passe devant.
- Plus généralement, $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ pour toute constante $k$.
- Chaque dérivation supplémentaire multiplie par un nouveau $2$, donc la dérivée $n$-ième est $2^n e^{2x}$.
- Dans l'autre sens, l'intégrale divise par $2$ : $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

La **dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$**. L'exponentielle reste exactement la même, et la dérivée de l'exposant, $2$, passe devant.

$$\frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x}$$

## Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne

Écrivons $e^{2x}$ comme une fonction extérieure $e^u$ avec l'intérieur $u = 2x$. La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) dit

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u\cdot u'$$

1. La dérivée extérieure : la [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est elle-même, donc $e^u$ reste $e^{2x}$.
2. La dérivée intérieure : $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
3. On multiplie : $e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$.

Les mêmes étapes donnent la règle générale $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$. Par exemple, $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$ et $\frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}$.

## Une seconde démonstration sans la dérivation en chaîne

Comme $e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x$, la [règle du produit](/rules/product-rule) fonctionne aussi :

$$\frac{d}{dx}(e^x\cdot e^x) = e^x\cdot e^x + e^x\cdot e^x = 2e^{2x}$$

Les deux méthodes concordent, ce qui est une bonne vérification.

## Courbe de e^(2x) et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = e^(2x) et de sa dérivée y = 2e^(2x)'
caption: 'La dérivée vaut toujours exactement le double de la hauteur de la fonction. En $x = 0$, la fonction vaut $1$ et la pente vaut $2$.'
x: [-3, 1.5]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: exp(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 2exp(2x)
    label: y = 2e^(2x) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 2, 'pente 2']
```

La tangente en $x = 0$ a pour pente $2$ et passe par $(0, 1)$, c'est donc $y = 2x + 1$.

## Dérivées successives

À chaque dérivation, un nouveau facteur $2$ apparaît :

| Dérivée | Résultat |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $2e^{2x}$ |
| $f''(x)$ | $4e^{2x}$ |
| $f'''(x)$ | $8e^{2x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $2^n e^{2x}$ |

Ce schéma explique pourquoi $y = e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $y'' = 4y$. Il éclaire aussi la dérivée première à elle seule : $y' = 2y$ signifie que la fonction croît à un rythme égal au double de sa taille actuelle, ce qui est la règle de la croissance exponentielle de constante $2$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle du produit.** Pour $f(x) = xe^{2x}$,

$$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$$

Comme $e^{2x} > 0$, le seul point critique est là où $1 + 2x = 0$, c'est-à-dire en $x = -\frac{1}{2}$.

**Exemple 2 : un exposant décalé.** Pour $g(x) = e^{2x + 1}$, la dérivée intérieure vaut toujours $2$ :

$$g'(x) = 2e^{2x + 1}$$

**Exemple 3 : un facteur constant.** Pour $h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x}$,

$$h'(x) = 10e^{2x} + 2e^{-2x}$$

Le second terme change de signe parce que $\frac{d}{dx}(-2x) = -2$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le 2.** $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x}$ est l'erreur la plus courante. Multipliez toujours par la dérivée intérieure.
2. **Faire descendre l'exposant comme une puissance.** $2x\,e^{2x - 1}$ est faux ; la règle de la puissance ne s'applique pas.
3. **Écrire $2e^{x}$.** L'exposant ne change pas. Il reste $2x$.
4. **Confondre la dérivée et l'intégrale.** La dérivée multiplie par $2$ ; l'intégrale divise par $2$.

Pour le sens inverse, voir l'[intégrale de e^(2x)](/integrals/e-to-the-2x). Pour vous entraîner davantage, essayez les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de e^(2x) ?

La dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$, d'après la règle de dérivation en chaîne.

### Quelle est la dérivée seconde de e^(2x) ?

On dérive encore une fois $2e^{2x}$ et on obtient $4e^{2x}$.

### Quelle est la dérivée de x·e^(2x) ?

Par la règle du produit, $e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.

### La dérivée de e^(2x) est-elle 2x·e^(2x − 1) ?

Non. Cela traite $e^{2x}$ comme une puissance de $x$. L'exposant contient la variable, donc on utilise la règle de l'exponentielle avec la règle de dérivation en chaîne.