# Dérivée de e^(−x) : formule, étapes et exemples

> La dérivée de e^(−x) est −e^(−x). Étapes de la dérivation en chaîne, vérification par le quotient, dérivées successives, courbe et exemples comme xe^(−x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-e-puissance-moins-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} $$

## En bref

- **Dérivée:** $-e^{-x}$
- **Dérivée seconde:** $e^{-x}$
- **Dérivée n-ième:** $(-1)^n e^{-x}$
- **Même fonction que:** $\dfrac{1}{e^x}$
- **Version intégrale:** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$

## À retenir

- La dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$. Le signe moins vient de la dérivée intérieure de $-x$.
- Les signes alternent : la dérivée $n$-ième est $(-1)^n e^{-x}$.
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ est toujours positive mais toujours décroissante, c'est pourquoi sa dérivée est négative.
- L'intégrale vaut aussi $-e^{-x} + C$, car dériver $-e^{-x}$ redonne $e^{-x}$.

La **dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$**. L'exponentielle reste la même, et la dérivée de l'exposant $-x$, qui vaut $-1$, place un signe moins devant.

$$\frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x}$$

## Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne

Voyons $e^{-x}$ comme $e^u$ avec $u = -x$. La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x) = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}$$

L'étape extérieure utilise le fait que la [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est $e^x$.

## Vérification par la règle du quotient

Comme $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) doit donner le même résultat :

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x} = \frac{0\cdot e^x - 1\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{-e^x}{e^{2x}} = -e^{-x}$$

Même réponse, avec plus de travail. La dérivation en chaîne est la voie rapide.

## Courbe de e^(−x) et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = e^(−x) et de sa dérivée y = −e^(−x)'
caption: 'La fonction $e^{-x}$ est toujours positive et toujours décroissante. Sa dérivée est son image symétrique sous l''axe des abscisses.'
x: [-2, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: exp(-x)
    label: y = e^(−x)
  - expr: -exp(-x)
    label: y = −e^(−x) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, -1, 'pente −1']
```

La courbe de $e^{-x}$ est celle de $e^x$ réfléchie par rapport à l'axe des ordonnées. Cette symétrie gauche-droite transforme chaque pente montante en pente descendante, donc la dérivée est négative. Quand $x \to \infty$, la fonction et sa pente diminuent toutes deux vers $0$. C'est l'allure de la décroissance exponentielle.

## Dérivées successives

Chaque dérivation fait apparaître un nouveau $-1$, donc les signes alternent :

| Dérivée | Résultat |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f''(x)$ | $e^{-x}$ |
| $f'''(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $(-1)^n e^{-x}$ |

Comme $f''(x) = f(x)$, la fonction $e^{-x}$ est solution de l'équation différentielle $y'' = y$, tout comme $e^x$. Et $f'(x) = -f(x)$ signifie qu'elle diminue à un rythme égal à sa propre taille, ce qui définit la décroissance exponentielle.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle du produit.** Pour $f(x) = xe^{-x}$, la [règle du produit](/rules/product-rule) donne

$$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

Donc $f$ est croissante pour $x < 1$, décroissante pour $x > 1$, et atteint un maximum $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$.

**Exemple 2 : décroissance exponentielle.** Une quantité $A(t) = 50e^{-0.2t}$ varie au rythme

$$A'(t) = 50\cdot(-0.2)e^{-0.2t} = -10e^{-0.2t}$$

En $t = 0$, elle diminue de $10$ unités par unité de temps.

**Exemple 3 : une somme.** Pour $g(x) = e^x + e^{-x}$,

$$g'(x) = e^x - e^{-x}$$

En divisant les deux par $2$, on obtient la [dérivée de cosh x](/derivatives/cosh-x), qui est $\sinh x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le signe moins.** $\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}$ est faux. La dérivée intérieure vaut $-1$.
2. **Écrire $-xe^{-x - 1}$.** Cela applique la règle de la puissance à une exponentielle.
3. **Se perdre dans les signes des dérivées successives.** Les dérivées d'ordre pair sont positives, celles d'ordre impair négatives.
4. **Se tromper de signe dans l'intégrale.** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$, et non $e^{-x} + C$. Voir l'[intégrale de e^(−x)](/integrals/e-to-the-negative-x).

Pour vous entraîner davantage à la dérivation en chaîne avec des exponentielles, essayez les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de e^(−x) ?

La dérivée de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$.

### Quelle est la dérivée de 1/e^x ?

Comme $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$, la dérivée est $-e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$.

### Quelle est la dérivée seconde de e^(−x) ?

On dérive encore $-e^{-x}$ : $-(-e^{-x}) = e^{-x}$. La dérivée seconde est égale à la fonction de départ.

### Quelle est la dérivée de x·e^(−x) ?

Par la règle du produit, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.