# Dérivée de e^(x²) : formule, étapes et exemples

> La dérivée de e^(x²) est 2x·e^(x²). Étapes de la dérivation en chaîne, dérivée seconde, différence avec (eˣ)² et exemples comme e^(−x²).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-e-puissance-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} $$

## En bref

- **Dérivée:** $2x\,e^{x^2}$
- **Dérivée seconde:** $(4x^2 + 2)\,e^{x^2}$
- **Point critique:** $x = 0$, un minimum
- **Fonction liée:** $\dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}$
- **Intégrale:** $\int e^{x^2}\,dx$ n'a pas d'expression élémentaire

## À retenir

- La dérivée de $e^{x^2}$ est $2x\,e^{x^2}$ : on recopie l'exponentielle, puis on multiplie par $2x$.
- $e^{x^2}$ et $(e^x)^2 = e^{2x}$ sont des fonctions différentes, avec des dérivées différentes.
- La dérivée seconde est $(4x^2 + 2)e^{x^2}$, toujours positive, donc la courbe est convexe partout.
- Dériver $e^{x^2}$ est facile, mais $\int e^{x^2}\,dx$ ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles.

La **dérivée de $e^{x^2}$ est $2x\,e^{x^2}$**. L'exponentielle est recopiée telle quelle et multipliée par la dérivée de l'exposant $x^2$.

$$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$$

## Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne

La fonction est une composée : une exponentielle extérieure $e^u$ et un intérieur $u = x^2$. D'après la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

1. On dérive l'extérieur en gardant l'intérieur : comme la [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est $e^x$, on obtient $e^{x^2}$.
2. On dérive l'intérieur : $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$.
3. On multiplie : $e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$.

On écrit en général le $2x$ devant, pour que personne ne le prenne pour une partie de l'exposant.

## Courbe de e^(x²) et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = e^(x²) et de sa dérivée y = 2x·e^(x²)'
caption: 'La fonction a un minimum en $(0, 1)$, où la dérivée s''annule. Loin de $0$, les deux croissent très vite.'
x: [-2, 2]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: 2x*exp(x^2)
    label: y = 2x·e^(x²) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-1.1, 1.1]
points:
  - [0, 1, 'minimum (0, 1)']
```

La dérivée $2x\,e^{x^2}$ est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$, car $e^{x^2}$ est toujours positif. La courbe descend donc, atteint son minimum en $x = 0$, puis remonte. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et sa dérivée est une fonction impaire.

## Dérivée seconde

On dérive $2x\,e^{x^2}$ avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$\frac{d^2}{dx^2}e^{x^2} = 2\cdot e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)\,e^{x^2}$$

Comme $4x^2 + 2 > 0$, la courbe est convexe partout et n'a aucun point d'inflexion.

## e^(x²) ou (eˣ)²

Elles se ressemblent mais ce sont des fonctions différentes :

| Fonction | Forme simplifiée | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $e^{x^2}$ | $e^{(x^2)}$ | $2x\,e^{x^2}$ |
| $(e^x)^2$ | $e^{2x}$ | $2e^{2x}$ |

En $x = 3$ : $e^{x^2} = e^9 \approx 8103$, mais $(e^x)^2 = e^6 \approx 403$. Voir la [dérivée de e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x) pour la seconde.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : la courbe en cloche.** Pour $f(x) = e^{-x^2}$, la dérivée intérieure est $-2x$ :

$$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$$

Cette forme est au cœur de la loi normale. Le maximum est en $x = 0$.

**Exemple 2 : une constante dans l'exposant.** Pour $g(x) = e^{3x^2 + 1}$,

$$g'(x) = 6x\,e^{3x^2 + 1}$$

**Exemple 3 : un produit.** Pour $h(x) = x\,e^{x^2}$,

$$h'(x) = e^{x^2} + x\cdot 2x\,e^{x^2} = (1 + 2x^2)\,e^{x^2}$$

Remarquez que $h'(x)$ est toujours positive, donc $h$ est toujours croissante.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le $2x$.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2}$ est faux ; cela ne marche que pour $e^x$ tout seul.
2. **Écrire $e^{2x}$.** L'exposant ne change jamais quand on dérive une exponentielle.
3. **Utiliser la règle de la puissance.** $x^2 e^{x^2 - 1}$ traite l'exponentielle comme une puissance de $e$ à base variable. Ce n'en est pas une.
4. **S'attendre à une intégrale facile.** On dérive $e^{x^2}$ en une ligne, mais sa primitive n'a pas d'expression élémentaire. Lisez l'[intégrale de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared) pour comprendre pourquoi, et ce qu'on fait à la place.

Entraînez-vous davantage sur les exponentielles composées avec les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de e^(x²) ?

La dérivée de $e^{x^2}$ est $2x\,e^{x^2}$, d'après la règle de dérivation en chaîne.

### Quelle est la dérivée seconde de e^(x²) ?

On applique la règle du produit à $2x\,e^{x^2}$ : $2e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$.

### Quelle est la dérivée de e^(−x²) ?

La dérivée intérieure est $-2x$, donc la réponse est $-2x\,e^{-x^2}$.

### e^(x²) est-il la même chose que (e^x)² ?

Non. $(e^x)^2 = e^{2x}$, dont la dérivée est $2e^{2x}$. Dans $e^{x^2}$, seul le $x$ est élevé au carré.