# Dérivée de eˣ : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de eˣ est eˣ. Démonstration par la limite, version composée pour e^u, courbe et exemples corrigés comme e^(3x) et x²eˣ.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-e-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^x = e^x $$

## En bref

- **Dérivée:** $e^x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$
- **Toutes les dérivées successives:** $e^x$
- **Valeur de e:** $e \approx 2.71828$
- **Version intégrale:** $\int e^x\,dx = e^x + C$

## À retenir

- La dérivée de $e^x$ est $e^x$. C'est la seule fonction (à un facteur constant près) qui est sa propre dérivée.
- La démonstration repose sur la limite $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$, et c'est ce qui rend $e$ si particulier.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$ : on recopie l'exponentielle, puis on multiplie par la dérivée de l'exposant.
- La règle de la puissance ne s'applique pas à $e^x$, car la variable est dans l'exposant.

La **dérivée de $e^x$ est $e^x$**. La fonction et sa pente sont égales en tout point, ce qui fait de $e^x$ la fonction la plus importante de l'analyse.

$$\frac{d}{dx}\,e^x = e^x$$

## Courbe de eˣ

```graph
title: 'Courbe de y = eˣ et sa tangente en x = 0'
caption: 'En tout point, la hauteur de $e^x$ est égale à sa pente. En $x = 0$, les deux valent $1$, donc la tangente en ce point est $y = x + 1$.'
x: [-4, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: exp(x)
    label: y = eˣ (et sa dérivée)
  - expr: x + 1
    label: tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1), pente 1']
  - [1, 2.718, '(1, e), pente e']
```

Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, la pente est toujours positive, donc $e^x$ est toujours croissante. Et comme la pente augmente avec la hauteur, la courbe s'incurve vers le haut de plus en plus vite.

## Démonstration par la définition avec une limite

Utilisons la [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) :

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$$

Pour toute base $a$, la dérivée de $a^x$ est $a^x$ multiplié par la constante $\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$. Pour $a = 2$, cette constante vaut environ $0.693$. Pour $a = 3$, elle vaut environ $1.099$. Le nombre $e \approx 2.71828$ est la base pour laquelle la constante vaut exactement $1$ :

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}e^x = e^x$$

On peut le vérifier numériquement : avec $h = 0.001$, $\frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005$.

## Version composée : dérivée de e^u

Quand l'exposant n'est pas simplement $x$, on utilise la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u'$$

On recopie l'exponentielle telle quelle, puis on multiplie par la dérivée de l'exposant.

| Fonction | Exposant $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $e^{3x}$ | $3x$ | $3e^{3x}$ |
| $e^{-x}$ | $-x$ | $-e^{-x}$ |
| $e^{x^2}$ | $x^2$ | $2xe^{x^2}$ |
| $e^{\sin x}$ | $\sin x$ | $\cos x\,e^{\sin x}$ |
| $e^{\sqrt{x}}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ |

Certaines ont leur propre page : [e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x), [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) et [e^(x²)](/derivatives/e-to-the-x-squared).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : règle du produit.** Pour $f(x) = x^2e^x$, la [règle du produit](/rules/product-rule) donne

$$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x)$$

Factoriser par $e^x$ permet de trouver facilement où $f'(x) = 0$ : en $x = 0$ et $x = -2$.

**Exemple 2 : règle du quotient.** Pour $g(x) = \frac{e^x}{x}$, la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) donne

$$g'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

**Exemple 3 : dérivées successives.** Toutes les dérivées de $e^x$ valent $e^x$, donc $f^{(n)}(x) = e^x$ pour tout $n$. C'est pourquoi le développement de Maclaurin de $e^x$ est $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$.

## Erreurs fréquentes

1. **Utiliser la règle de la puissance.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}$. La règle de la puissance exige un exposant constant.
2. **Oublier le facteur de la dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, et non $e^{5x}$.
3. **Modifier l'exposant.** La dérivée de $e^{x^2}$ garde $e^{x^2}$ ; elle ne devient pas $e^{2x}$.
4. **Traiter $e$ comme une variable.** $e$ est une constante, donc $\frac{d}{dx}e^2 = 0$ et $\frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}$.

Le résultat inverse, $\int e^x\,dx = e^x + C$, est traité sur la page [intégrale de eˣ](/integrals/e-to-the-x). La fonction réciproque est le logarithme népérien ; voir la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) et la [fonction exponentielle](/functions/natural-exponential-function).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de e^x ?

La dérivée de $e^x$ est $e^x$. La fonction est sa propre dérivée.

### Pourquoi la dérivée de e^x est-elle égale à e^x ?

Parce que $\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$, et $e$ est exactement le nombre pour lequel cette limite vaut $1$.

### Quelle est la dérivée de e^(3x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $3e^{3x}$.

### La dérivée de e^x est-elle x·e^(x−1) ?

Non. C'est la règle de la puissance, qui ne s'applique que lorsque l'exposant est une constante. Ici, l'exposant est la variable, donc la réponse est $e^x$.