# Dérivée de ln(2x) : pourquoi elle vaut 1/x, avec exemples

> La dérivée de ln(2x) est 1/x, comme pour ln x. Deux démonstrations, une courbe qui montre pourquoi les pentes coïncident, et le cas différent de ln(2x + 1).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-ln-2x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$
- **Forme générale:** $\dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x}$ pour toute constante $k > 0$
- **Propriété clé du logarithme:** $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
- **Domaine de définition de ln(2x):** $x > 0$
- **Comparaison:** $\dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}$

## À retenir

- La dérivée de $\ln(2x)$ est $\frac{1}{x}$, exactement comme la dérivée de $\ln x$.
- Raison : $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, et la constante $\ln 2$ a une dérivée égale à $0$.
- La règle de dérivation en chaîne donne la même chose : $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$.
- Cela ne marche que pour un multiple de $x$. Pour $\ln(2x + 1)$, la dérivée est $\frac{2}{2x + 1}$.

La **dérivée de $\ln(2x)$ est $\dfrac{1}{x}$**. Cela surprend beaucoup d'élèves : le $2$ disparaît, et la réponse est la même que la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x).

$$\frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Démonstration 1 : la règle de dérivation en chaîne

Posons $u = 2x$, donc $u' = 2$. La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) pour les logarithmes dit « dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur » :

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{u'}{u} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$

Le $2$ du numérateur se simplifie avec le $2$ du dénominateur.

## Démonstration 2 : décomposer le logarithme d'abord

La propriété du logarithme d'un produit dit $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Donc

$$\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$$

Or $\ln 2 \approx 0.693$ n'est qu'un nombre, et la dérivée d'une constante vaut $0$ :

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Cette seconde démonstration explique *pourquoi* la réponse est la même que pour $\ln x$.

## Courbe : deux courbes, mêmes pentes

```graph
title: 'Courbe de y = ln(2x) et de y = ln x'
caption: 'La courbe de $\ln(2x)$ est celle de $\ln x$ décalée vers le haut de $\ln 2 \approx 0.693$. Décaler une courbe vers le haut ne change pas sa pente, donc les deux ont pour dérivée $\frac{1}{x}$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: ln(2x)
    label: y = ln(2x)
    domain: [0.02, 6]
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    dashed: true
    domain: [0.04, 6]
points:
  - [0.5, 0, '(1/2, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Pour tout $x$, les deux courbes sont séparées par la même distance verticale, donc leurs tangentes sont parallèles. En $x = 2$, par exemple, les deux ont une pente de $\frac{1}{2}$.

## Quand la constante ne se simplifie pas

L'astuce ne fonctionne que si l'intérieur est une constante *fois* $x$. Comparez :

| Fonction | Dérivée | La constante se simplifie-t-elle ? |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ | oui |
| $\ln(5x)$ | $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ | oui |
| $\ln(2x + 1)$ | $\frac{2}{2x + 1}$ | non |
| $\ln(x + 2)$ | $\frac{1}{x + 2}$ | non |
| $\ln(2x^3)$ | $\frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}$ | le $2$ se simplifie, la puissance reste |

La dernière ligne fonctionne parce que $\ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une tangente.** En $x = \frac{1}{2}$, $\ln(2x) = \ln 1 = 0$ et la pente vaut $\frac{1}{1/2} = 2$. La tangente est

$$y = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2x - 1$$

**Exemple 2 : règle du produit.** Pour $f(x) = x\ln(2x)$, la [règle du produit](/rules/product-rule) donne

$$f'(x) = \ln(2x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$$

**Exemple 3 : un carré.** Pour $g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2$, la fonction extérieure est un carré :

$$g'(x) = 2\ln(2x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln(2x)}{x}$$

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\frac{1}{2x}$.** Vous avez divisé par l'intérieur mais oublié de multiplier par sa dérivée, $2$.
2. **Écrire $\frac{2}{x}$.** Vous avez multiplié par $2$ mais n'avez pas gardé le $2$ au dénominateur.
3. **Simplifier dans $\ln(2x + 1)$.** Le $2$ ne se simplifie que si l'intérieur est exactement $2x$.

Voir aussi la [dérivée de ln(x²)](/derivatives/ln-x-squared), où c'est une puissance et non un multiple qui se trouve dans le logarithme, et entraînez-vous avec les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de ln(2x) ?

La dérivée de $\ln(2x)$ est $\frac{1}{x}$.

### Pourquoi la dérivée de ln(2x) est-elle la même que celle de ln x ?

Parce que $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$. Les deux fonctions ne diffèrent que de la constante $\ln 2$, donc leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale et ont la même pente partout.

### Quelle est la dérivée de ln(3x) ?

C'est aussi $\frac{1}{x}$. Pour toute constante positive $k$, $\frac{d}{dx}\ln(kx) = \frac{k}{kx} = \frac{1}{x}$.

### Quelle est la dérivée de ln(2x + 1) ?

C'est $\frac{2}{2x + 1}$. Avec le $1$ ajouté à l'intérieur, la constante ne se sépare plus en un logarithme à part, donc rien ne se simplifie.