# Dérivée de ln(cos x) : formule, étapes et exemples

> La dérivée de ln(cos x) est −tan x. Étapes de la dérivation en chaîne, lien avec l'intégrale de tan x, courbe, et les cas ln(sin x) et ln(sec x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-ln-cos-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x $$

## En bref

- **Dérivée:** $-\tan x$ là où $\cos x > 0$
- **Dérivée seconde:** $-\sec^2 x$
- **Avec valeur absolue:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$ là où $\cos x \ne 0$
- **Intégrale associée:** $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Fonction voisine:** $\dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \cot x$

## À retenir

- La dérivée de $\ln(\cos x)$ est $\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
- Elle suit la règle de dérivation en chaîne du logarithme : la dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur.
- Lue à l'envers, elle donne l'intégrale classique $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$.
- $\ln(\cos x)$ n'est définie que là où $\cos x > 0$, par exemple pour $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

La **dérivée de $\ln(\cos x)$ est $-\tan x$**. C'est un court calcul de dérivation en chaîne, et c'est la raison pour laquelle l'intégrale de $\tan x$ fait intervenir un logarithme.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x$$

## Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne

Pour le logarithme d'une fonction, la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) associée à la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Ici, $u = \cos x$ :

1. L'intérieur est $u = \cos x$.
2. Sa dérivée est $u' = -\sin x$ (voir la [dérivée de cos x](/derivatives/cos-x)).
3. On divise : $\frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

## Où ln(cos x) est définie

Un logarithme n'accepte que des valeurs positives, donc $\ln(\cos x)$ n'existe que là où $\cos x > 0$. C'est l'intervalle $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ et ses translatés de $2\pi$. Là où $\cos x < 0$, utilisez plutôt $\ln\lvert\cos x\rvert$. Elle a la même dérivée, $-\tan x$, partout où $\cos x \ne 0$.

## Courbe de ln(cos x) et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = ln(cos x) et de sa dérivée y = −tan x'
caption: 'La courbe atteint son maximum en $(0, 0)$, où la pente $-\tan 0 = 0$. Elle plonge vers $-\infty$ près de $x = \pm\frac{\pi}{2}$, où $\cos x \to 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(cos(x))
    label: y = ln(cos x)
    domain: [-1.5, 1.5]
  - expr: -tan(x)
    label: y = −tan x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
points:
  - [0, 0, 'maximum (0, 0)']
```

Comme $\cos x \le 1$, on a $\ln(\cos x) \le 0$, avec la valeur maximale $0$ en $x = 0$. La dérivée seconde est $-\sec^2 x$, toujours négative, donc la courbe est concave partout où elle existe.

## Pourquoi cela donne l'intégrale de tan x

Retournons le résultat. Comme $\frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$,

$$\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

Les deux formes sont égales car $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}$. La méthode complète, par changement de variable, se trouve sur la page [intégrale de tan x](/integrals/tan-x).

## Logarithmes d'autres fonctions trigonométriques

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\ln(\cos x)$ | $-\tan x$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\cot x$ |
| $\ln(\sec x)$ | $\tan x$ |
| $\ln(\tan x)$ | $\frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$ |
| $\ln(\sec x + \tan x)$ | $\sec x$ |

La dernière ligne est la célèbre formule derrière $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Vérification : la dérivée de l'intérieur est $\sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$, et en divisant par $\sec x + \tan x$, il reste $\sec x$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x$.

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347$, et la pente vaut $-\tan\frac{\pi}{4} = -1$. La tangente est $y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\frac{1}{\cos x}$.** C'est $\sec x$, et cela oublie la dérivée intérieure $-\sin x$.
2. **Perdre le signe moins.** La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$, donc la réponse est $-\tan x$, et non $\tan x$.
3. **Écrire $-\frac{1}{\sin x}$.** Vous avez inversé la dérivée intérieure au lieu de diviser par l'intérieur.

Entraînez-vous davantage à la dérivation en chaîne avec les [exercices de dérivées trigonométriques](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de ln(cos x) ?

La dérivée de $\ln(\cos x)$ est $-\tan x$.

### Quelle est la dérivée de ln(sin x) ?

C'est $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$, valable là où $\sin x > 0$.

### Quelle est la dérivée de ln(sec x) ?

C'est $\frac{\sec x\tan x}{\sec x} = \tan x$. Cela concorde avec le fait que $\ln(\sec x) = -\ln(\cos x)$.

### Quelle est la dérivée de ln(cos 2x) ?

La dérivée intérieure est $-2\sin 2x$, donc la réponse est $\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.