# Dérivée de ln(x²) et de (ln x)² : formules et exemples

> La dérivée de ln(x²) est 2/x, alors que celle de (ln x)² est 2 ln x / x. Les deux démonstrations, une courbe et comment les distinguer.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-ln-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} $$

## En bref

- **Dérivée de ln(x²):** $\dfrac{2}{x}$ pour $x \ne 0$
- **Dérivée de (ln x)²:** $\dfrac{2\ln x}{x}$ pour $x > 0$
- **Propriété clé du logarithme:** $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$
- **Domaine de définition de ln(x²):** $x \ne 0$
- **Domaine de définition de (ln x)²:** $x > 0$

## À retenir

- La dérivée de $\ln(x^2)$ est $\frac{2}{x}$ : par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{2x}{x^2}$, ou par la propriété $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$.
- La dérivée de $(\ln x)^2$ est $\frac{2\ln x}{x}$ : le carré est à l'extérieur, donc on applique la règle de la puissance puis la dérivation en chaîne.
- $\ln(x^2)$ élève l'entrée au carré ; $(\ln x)^2$ élève la sortie au carré. Ce sont des fonctions différentes.
- $\ln(x^2)$ est définie pour tout $x \ne 0$, mais $(\ln x)^2$ seulement pour $x > 0$.

La **dérivée de $\ln(x^2)$ est $\dfrac{2}{x}$**. Ne la confondez pas avec $(\ln x)^2$, dont la dérivée est $\dfrac{2\ln x}{x}$.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$$

## Dérivée de ln(x²) : deux méthodes

**Avec la règle de dérivation en chaîne.** L'intérieur est $u = x^2$, donc $u' = 2x$. En appliquant « dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur », tiré de la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) :

$$\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

**Avec une propriété du logarithme d'abord.** La propriété des puissances fait descendre l'exposant : $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$. Comme $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$,

$$\frac{d}{dx}\,2\ln\lvert x\rvert = \frac{2}{x}$$

La valeur absolue compte, car $x^2 > 0$ même quand $x < 0$. Donc $\ln(x^2)$ existe aussi pour $x$ négatif, et la formule $\frac{2}{x}$ est valable des deux côtés de $0$.

## Dérivée de (ln x)²

Ici, on calcule d'abord le logarithme, *puis* on l'élève au carré. La fonction extérieure est un carré, donc on utilise la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) avec la règle de la puissance à l'extérieur :

$$\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = 2(\ln x)^1\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{2\ln x}{x}$$

On rencontre aussi $(\ln x)^2$ écrit $\ln^2 x$. En général, ce n'est jamais égal à $\ln(x^2)$. En $x = e$ : $\ln(e^2) = 2$, mais $(\ln e)^2 = 1$.

## Courbe des deux fonctions

```graph
title: 'Courbe de y = ln(x²) et de y = (ln x)²'
caption: '$\ln(x^2)$ a deux branches, une de chaque côté de l''axe des ordonnées. $(\ln x)^2$ n''existe que pour $x > 0$, touche zéro en $x = 1$ et n''est jamais négative.'
x: [-5, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [0.15, 5]
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [-5, -0.15]
  - expr: (ln(x))^2
    label: y = (ln x)²
    dashed: true
    domain: [0.14, 5]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
```

La courbe montre la différence de signe. $\ln(x^2)$ monte pour $x > 0$ (sa pente $\frac{2}{x}$ est positive) et descend pour $x < 0$. $(\ln x)^2$ a un minimum en $x = 1$, où sa dérivée $\frac{2\ln x}{x}$ vaut $0$.

## Côte à côte

| | $\ln(x^2)$ | $(\ln x)^2$ |
| --- | --- | --- |
| Ce qui est élevé au carré | l'entrée $x$ | la sortie $\ln x$ |
| Domaine de définition | $x \ne 0$ | $x > 0$ |
| Se simplifie en | $2\ln\lvert x\rvert$ | pas de forme plus simple |
| Dérivée | $\frac{2}{x}$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |
| Valeur en $x = e$ | $2$ | $1$ |

## Autres exemples

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}$. En général, $\frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Ici rien ne se simplifie, car l'intérieur n'est pas une simple puissance.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}$.

**Exemple 4.** $\frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}$, en utilisant d'abord la propriété des puissances du logarithme.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\frac{1}{x^2}$.** Il faut multiplier par la dérivée intérieure $2x$.
2. **Prendre $\ln^2 x$ pour $\ln(x^2)$.** L'une élève la sortie au carré, l'autre l'entrée.
3. **Écrire $\frac{2}{x}$ pour $(\ln x)^2$.** Vous avez oublié le $\ln x$ que laisse la règle de la puissance.

Pour vous entraîner davantage à la dérivation en chaîne avec des logarithmes, voir la [dérivée de ln(2x)](/derivatives/ln-2x), la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation) et les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de ln(x²) ?

La dérivée de $\ln(x^2)$ est $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$, pour tout $x \ne 0$.

### Quelle est la dérivée de (ln x)² ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $2\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

### ln(x²) est-il égal à 2 ln x ?

Seulement pour $x > 0$. En général, $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$, car $\ln(x^2)$ est aussi définie pour $x$ négatif, contrairement à $\ln x$.

### Quelle est la dérivée de ln(x² + 1) ?

C'est $\frac{2x}{x^2 + 1}$. Contrairement à $\ln(x^2)$, cela ne se simplifie pas davantage.