# Dérivée de ln x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de ln x est 1/x. Démonstration à partir de eʸ = x, version composée pour ln(u), courbe et exemples corrigés comme ln(2x) et ln(x²+1).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-ln-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$
- **Avec valeur absolue:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x}$ pour $x \ne 0$
- **Domaine de définition de ln x:** $x > 0$
- **Version intégrale:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## À retenir

- La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, la dérivée de $\ln u$ est $\frac{u'}{u}$ : la dérivée de l'intérieur divisée par l'intérieur.
- Un facteur constant dans le logarithme disparaît : $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, car $\ln 5x = \ln 5 + \ln x$.
- La même formule vaut pour $\ln\lvert x\rvert$, d'où $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.

La **dérivée de $\ln x$ est $\dfrac{1}{x}$**. C'est l'un des résultats les plus utilisés en analyse, et il comble un manque laissé par la règle de la puissance : aucune puissance de $x$ n'a $\frac{1}{x}$ pour dérivée, mais le logarithme népérien, si.

$$\frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Courbe de ln x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = ln x et de sa dérivée y = 1/x'
caption: 'La pente de $\ln x$ est grande près de $x = 0$ et diminue quand $x$ augmente. En $x = 1$, la pente vaut exactement $1$, ce qui correspond à $\frac{1}{1} = 1$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.02, 6]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.2, 6]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, 1, 'pente 1']
```

Comme $\frac{1}{x}$ est toujours positif pour $x > 0$, le logarithme népérien est strictement croissant. Et comme $\frac{1}{x}$ diminue quand $x$ augmente, $\ln x$ monte de plus en plus lentement : c'est pour cela qu'il est concave.

## Démonstration : la dérivée de ln x est 1/x

Posons $y = \ln x$. Par définition du logarithme népérien, cela signifie

$$e^y = x$$

Dérivons les deux membres par rapport à $x$, en utilisant la [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) à gauche :

$$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

La dernière étape utilise de nouveau $e^y = x$. La démonstration repose sur le fait que la dérivée de $e^x$ est $e^x$, que vous trouverez sur la page [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x).

## La version composée : dérivée de ln(u)

La plupart des logarithmes que vous rencontrerez contiennent autre chose que $x$ seul. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}\,\ln u = \frac{1}{u}\cdot u' = \frac{u'}{u}$$

Autrement dit : **la dérivée de l'intérieur, divisée par l'intérieur**.

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée $\frac{u'}{u}$ |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $x^2 + 1$ | $\frac{2x}{x^2 + 1}$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ |
| $\ln(e^x + 3)$ | $e^x + 3$ | $\frac{e^x}{e^x + 3}$ |
| $\ln(\ln x)$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x\ln x}$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un produit.** Dérivons $f(x) = x^3 \ln x$ avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$$

**Exemple 2 : simplifier d'abord.** Dérivons $g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right)$. Les propriétés du logarithme transforment le quotient en différence :

$$g(x) = 4\ln x - \ln(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{x + 1}$$

C'est bien plus rapide que d'appliquer la règle du quotient à l'intérieur de la règle de dérivation en chaîne. Décomposer les logarithmes avant de dériver est l'idée de la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation).

**Exemple 3 : une tangente.** La tangente à $y = \ln x$ en $x = e$ a pour pente $\frac{1}{e}$ et passe par $(e, 1)$ :

$$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{e}$$

Cette droite passe par l'origine.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\frac{1}{u}$ et s'arrêter là.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1)$ n'est pas $\frac{1}{x^2+1}$. Il faut multiplier par la dérivée de l'intérieur, $2x$.
2. **Confondre $\ln(x^2)$ et $(\ln x)^2$.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}$, mais $\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$.
3. **Utiliser $\frac{1}{x}$ pour d'autres bases.** $\frac{d}{dx}\log_{10} x$ demande le facteur supplémentaire $\frac{1}{\ln 10}$. Voir la [dérivée de log x](/derivatives/log-x).
4. **Oublier le domaine de définition.** $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$. Pour des valeurs négatives, utilisez $\ln\lvert x\rvert$, qui a la même dérivée $\frac{1}{x}$.

Pour aller plus loin sur les logarithmes et les exponentielles, lisez [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), ou consultez la page de la fonction [logarithme népérien](/functions/natural-logarithm).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de ln x ?

La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$, pour tout $x > 0$.

### Quelle est la dérivée de ln(2x) ?

C'est $\frac{1}{x}$. Par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. On le voit aussi avec $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, où $\ln 2$ est une constante.

### Quelle est la dérivée de ln(x²) ?

C'est $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$. On peut aussi d'abord écrire $\ln(x^2) = 2\ln x$ et obtenir directement $\frac{2}{x}$.

### La dérivée de ln x est-elle la même que celle de log x ?

Seulement pour le logarithme népérien. Pour le logarithme décimal, $\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10}$. En général, $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.