# Dérivée de log x : base 10 et base b, avec exemples

> La dérivée de log₁₀ x est 1/(x ln 10), et celle de log_b x est 1/(x ln b). Démonstration par changement de base, exemples composés et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-log-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} $$

## En bref

- **Dérivée de log₁₀ x:** $\dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}$
- **Base quelconque:** $\dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}$
- **Changement de base:** $\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$
- **Domaine de définition:** $x > 0$

## À retenir

- La dérivée de $\log_{10} x$ est $\frac{1}{x\ln 10}$, et pour toute base $b$, $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.
- La démonstration tient en une ligne : le changement de base donne $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, une constante fois $\ln x$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$.
- Dans beaucoup de manuels d'analyse et en mathématiques avancées, « log x » désigne le logarithme népérien : vérifiez la convention de votre cours.

La **dérivée de $\log_{10} x$ est $\dfrac{1}{x\ln 10}$**. Pour un logarithme de base $b$ quelconque :

$$\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$$

C'est la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x), $\frac{1}{x}$, divisée par la constante $\ln b$.

## Quel logarithme désigne « log x » ?

La notation dépend du contexte :

- Sur les calculatrices, en chimie et dans la plupart des cours de lycée, $\log x$ désigne $\log_{10} x$.
- Dans beaucoup de manuels d'analyse, en mathématiques avancées et dans la plupart des langages de programmation, $\log x$ désigne $\ln x$.
- En informatique, $\log x$ désigne souvent $\log_2 x$.

En cas de doute, regardez le corrigé : une réponse contenant $\ln 10$ signifie qu'il s'agit de la base 10.

## Démonstration par la formule de changement de base

La formule de changement de base transforme tout logarithme en logarithme népérien :

$$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Comme $\frac{1}{\ln b}$ est une constante, la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) donne

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln b}$$

Pour la base 10, $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$. Un logarithme décimal croît donc à environ $43\%$ du rythme du logarithme népérien.

## Courbe de log₁₀ x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = log₁₀ x et de sa dérivée'
caption: 'Le logarithme décimal croît lentement. Sa pente en $x = 1$ vaut $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.434$.'
x: [-0.5, 10]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(10)
    label: y = log₁₀ x
    domain: [0.02, 10]
  - expr: 1/(x*ln(10))
    label: y = 1/(x ln 10) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.25, 10]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [10, 1, '(10, 1)']
```

## Dérivées pour les bases usuelles

| Fonction | Dérivée | Valeur approchée |
| --- | --- | --- |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_{10} x$ | $\frac{1}{x\ln 10}$ | $\frac{0.4343}{x}$ |
| $\log_2 x$ | $\frac{1}{x\ln 2}$ | $\frac{1.4427}{x}$ |
| $\log_3 x$ | $\frac{1}{x\ln 3}$ | $\frac{0.9102}{x}$ |

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}$. Le $3$ se simplifie, exactement comme dans la [dérivée de ln(2x)](/derivatives/ln-2x).

**Exemple 3 : règle du produit.** Pour $f(x) = x\log_{10} x$,

$$f'(x) = \log_{10} x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}$$

**Exemple 4 : les décibels.** Le niveau sonore vaut $L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}$. Alors $\frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}$, donc chaque unité d'intensité supplémentaire compte de moins en moins quand $I$ augmente.

## Réciproque de aˣ

$\log_b x$ est la réciproque de $b^x$, dont la dérivée est $b^x\ln b$ (voir la [dérivée de 2ˣ et de aˣ](/derivatives/2-to-the-x)). L'une a $\ln b$ au numérateur et l'autre au dénominateur, comme le prévoit la [dérivée de la fonction réciproque](/rules/inverse-function-rule).

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\frac{1}{x}$ pour la base 10.** Ce n'est correct que pour le logarithme népérien.
2. **Mettre $\log 10$ au lieu de $\ln 10$.** Le facteur est toujours un logarithme népérien. ($\log_{10} 10 = 1$, ce qui le ferait disparaître à tort.)
3. **Écrire $\frac{\ln 10}{x}$.** Le $\ln b$ va au dénominateur.

Pour aller plus loin, voir les [fonctions logarithmes](/functions/logarithmic-functions) et les [dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de log x ?

Si $\log x$ désigne le logarithme décimal, la dérivée est $\frac{1}{x\ln 10}$. S'il désigne le logarithme népérien, comme dans de nombreux ouvrages avancés, la dérivée est $\frac{1}{x}$.

### Quelle est la dérivée du logarithme en base 2 de x ?

C'est $\frac{1}{x\ln 2}$, soit environ $\frac{1.443}{x}$.

### Pourquoi y a-t-il un ln dans la dérivée d'un logarithme décimal ?

Parce que $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$. La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$, et la constante $\frac{1}{\ln 10}$ suit simplement.

### Quelle est la dérivée de log(x² + 1) ?

En base 10, c'est $\frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.