# Dérivée de la racine cubique de x : formule et exemples

> La dérivée de la racine cubique de x est 1/(3∛(x²)). Démonstrations par la puissance et la limite, tangente verticale en 0 et exemples composés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-racine-cubique-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pour $x \ne 0$
- **Sous forme de puissance:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$
- **En x = 0:** Non dérivable, la tangente est verticale
- **Domaine de définition:** Tous les réels, contrairement à $\sqrt{x}$

## À retenir

- La dérivée de $\sqrt[3]{x}$ est $\frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
- La racine cubique est définie pour $x$ négatif, et la formule y reste valable.
- La dérivée est toujours positive, donc $\sqrt[3]{x}$ est toujours croissante.
- En $x = 0$, la pente est infinie, donc la dérivée n'existe pas en ce point.

La **dérivée de $\sqrt[3]{x}$ est $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$**, pour tout $x \ne 0$. Écrivez la racine cubique sous la forme de la puissance $x^{1/3}$ et la règle de la puissance fait le reste.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

## Courbe de ∛x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = ∛x et de sa dérivée'
caption: 'La racine cubique passe par l''origine avec une tangente verticale. Sa dérivée est positive des deux côtés et s''envole près de $x = 0$.'
x: [-6, 6]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: x^(1/3)
    label: y = ∛x
  - expr: 1/(3abs(x)^(2/3))
    label: y = 1/(3∛(x²)) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pente 1/3']
  - [-1, -1, '(-1, -1), pente 1/3']
```

Remarquez que la dérivée est la même en $x = 1$ et en $x = -1$. Comme $x^2$ prend la même valeur pour $x$ et $-x$, la dérivée est une fonction paire.

## Démonstration par la règle de la puissance

Avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule) pour $n = \frac{1}{3}$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

Un exposant négatif fait passer la puissance au dénominateur, et $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

## Démonstration par la définition avec une limite

Posons $a = \sqrt[3]{x + h}$ et $b = \sqrt[3]{x}$. Alors $a^3 - b^3 = h$. L'identité $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ donne

$$\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}$$

Quand $h \to 0$, $a \to b$, donc la limite vaut $\frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Il faut $b \ne 0$, et c'est exactement pour cela que le cas $x = 0$ échoue.

## Pourquoi la dérivée n'existe pas en 0

En $x = 0$, le taux d'accroissement vaut $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}$, qui tend vers $+\infty$ des deux côtés. La courbe est continue mais a une tangente verticale : c'est un exemple classique de fonction continue mais non [dérivable](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

## Dérivation en chaîne et autres racines

Pour la racine cubique d'une expression, la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne

$$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}$.

**Exemple 3.** Toute racine se traite de la même façon : $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$. Pour $n = 4$, on obtient $\frac{1}{4}x^{-3/4}$.

**Exemple 4 : une tangente.** En $x = 8$, $\sqrt[3]{8} = 2$ et la pente vaut $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$. Donc $\sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083$. La valeur exacte est d'environ $2.080$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $x^{-1/3}$.** Le nouvel exposant est $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
2. **Mal placer le 3.** La réponse est $\frac{1}{3}x^{-2/3}$, et non $3x^{-2/3}$.
3. **Croire que les $x$ négatifs sont interdits.** Les racines cubiques de nombres négatifs sont réelles, donc la dérivée existe pour tout $x$ sauf $0$.

Comparez avec la [dérivée de √x](/derivatives/sqrt-x), qui n'est définie que pour $x > 0$.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de la racine cubique de x ?

C'est $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, ce qui revient à $\frac{1}{3}x^{-2/3}$.

### La racine cubique de x est-elle dérivable en 0 ?

Non. La fonction est continue en $0$, mais le taux d'accroissement $\frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3}$ grandit sans limite, donc la tangente à l'origine est verticale.

### Quelle est la dérivée de x^(2/3) ?

D'après la règle de la puissance, $\frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Contrairement à $x^{1/3}$, elle change de signe en $0$, ce qui donne un point de rebroussement.

### Quelle est la dérivée de la racine cubique de (x² + 1) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$.