# Dérivée de √x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de √x est 1/(2√x). Démonstrations par la puissance et la limite, version composée pour √u, le problème en x = 0 et exemples comme √(x² + 1).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-racine-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$
- **Sous forme de puissance:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
- **En x = 0:** Non dérivable, la tangente est verticale
- **Version intégrale:** $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, valable pour $x > 0$.
- Écrivez $\sqrt{x}$ sous la forme $x^{1/2}$ et appliquez la règle de la puissance : $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.
- Pour la racine carrée de n'importe quelle expression, $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- En $x = 0$, la courbe a une tangente verticale, donc la dérivée n'existe pas en ce point.

La **dérivée de $\sqrt{x}$ est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$**, pour tout $x > 0$. Les racines ne sont que des puissances fractionnaires, donc la règle de la puissance s'en charge.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Courbe de √x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = √x et de sa dérivée y = 1/(2√x)'
caption: 'La racine carrée monte fortement près de $0$ puis s''aplatit. Sa dérivée est grande près de $0$ et diminue vers $0$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-0.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 6]
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.03, 6]
points:
  - [4, 2, '(4, 2)']
  - [4, 0.25, 'pente 1/4']
```

La dérivée est toujours positive, donc $\sqrt{x}$ est toujours croissante. Mais elle croît de plus en plus lentement, et c'est pour cela que la courbe s'infléchit vers le bas.

## Démonstration par la règle de la puissance

Écrivez la racine sous forme de puissance, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, et appliquez la [règle de la puissance](/rules/power-rule) :

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Démonstration par la définition avec une limite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Prendre $h = 0$ donne $\frac{0}{0}$. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$ :

$$\frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

Quand $h \to 0$, on obtient $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

## Pourquoi x = 0 pose problème

En $x = 0$, la formule ferait diviser par zéro. Le taux d'accroissement y vaut $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$, qui grandit sans limite quand $h \to 0^+$. La tangente à l'origine est verticale, donc $\sqrt{x}$ n'est pas [dérivable](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) en $0$.

## La version composée : dérivée de √u

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{3x}$ | $3x$ | $\frac{3}{2\sqrt{3x}}$ |
| $\sqrt{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ |
| $\sqrt{1 - x^2}$ | $1 - x^2$ | $\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\sqrt{\sin x}$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : regrouper les puissances d'abord.** Dérivons $x\sqrt{x}$. Comme $x\sqrt{x} = x^{3/2}$ :

$$\frac{d}{dx}\,x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$$

**Exemple 2 : un quotient.** $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, donc sa dérivée est $-\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = 9$, $\sqrt{9} = 3$ et la pente vaut $\frac{1}{6}$. La tangente est $y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9)$. Cette droite permet d'estimer $\sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167$, une [approximation affine](/blog/linear-approximation) classique. La valeur exacte est d'environ $3.162$.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le 2.** La réponse est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, et non $\frac{1}{\sqrt{x}}$.
2. **Diminuer l'exposant dans le mauvais sens.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, et non $-\frac{3}{2}$ ou $\frac{3}{2}$.
3. **Oublier $u'$.** $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$ demande le facteur $2x$ au numérateur.
4. **Prendre $x = 0$.** La formule n'a pas de valeur en $0$. Dites que la dérivée n'existe pas en ce point plutôt que d'écrire $\frac{1}{0}$.

Le sens inverse est traité sur la page [intégrale de √x](/integrals/sqrt-x). La page de la [fonction racine carrée](/functions/square-root-function) présente sa courbe et son domaine de définition.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de la racine carrée de x ?

C'est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. En écrivant $\sqrt{x} = x^{1/2}$, la règle de la puissance donne $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

### La fonction √x est-elle dérivable en 0 ?

Non. La fonction est définie en $0$, mais $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ tend vers l'infini quand $x \to 0^+$. La courbe y a une tangente verticale.

### Quelle est la dérivée de 2√x ?

C'est $2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

### Quelle est la dérivée de √(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.