# Dérivée de sec²x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sec²x est 2sec²x tan x. Deux démonstrations, l'une par la dérivation en chaîne, l'autre avec 1 + tan²x, et des exemples comme sec²(3x).

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sec-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x $$

## En bref

- **Dérivée:** $2\sec^2 x\tan x$ pour $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Avec sin et cos:** $\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$
- **Lien avec tan x:** $\sec^2 x$ est la dérivée de $\tan x$, donc ceci est $\frac{d^2}{dx^2}\tan x$
- **Intégrale de sec²x:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sec^2 x$ est $2\sec^2 x\tan x$.
- Voyez $\sec^2 x$ comme $(\sec x)^2$ : le carré extérieur donne $2\sec x$, l'intérieur donne $\sec x\tan x$.
- Comme $\sec^2 x = \frac{d}{dx}\tan x$, ce résultat est aussi la dérivée seconde de $\tan x$.
- Ne la confondez pas avec la dérivée de $\tan x$, qui est $\sec^2 x$ elle-même.

La **dérivée de $\sec^2 x$ est $2\sec^2 x\tan x$**. Lisez $\sec^2 x$ comme $(\sec x)^2$, puis appliquez une fois la règle de dérivation en chaîne.

$$\frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Courbe de sec²x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sec²x et de sa dérivée y = 2sec²x tan x'
caption: 'La branche en U de $\sec^2 x$ atteint son minimum en $x = 0$, là où la dérivée s''annule.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: 2sec(x)^2tan(x)
    label: y = 2sec²x tan x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-1.0, 1.0]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'minimum, pente 0']
```

## Démonstration 1 : dérivation en chaîne sur (sec x)²

La fonction extérieure est le carré, la fonction intérieure est $\sec x$. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x) :

$$\frac{d}{dx}(\sec x)^2 = 2\sec x\cdot\frac{d}{dx}\sec x = 2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Démonstration 2 : avec 1 + tan²x

L'identité $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ offre une seconde voie. Le $1$ disparaît, et $\tan^2 x$ est le carré de $\tan x$ :

$$\frac{d}{dx}\left(1 + \tan^2 x\right) = 2\tan x\cdot\sec^2 x$$

Les deux voies concordent, ce qui est une bonne vérification de l'identité.

## Démonstration 3 : avec cos x

$\sec^2 x = (\cos x)^{-2}$, donc

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-2} = -2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

On le décompose en $2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x$.

## Pourquoi c'est la dérivée seconde de tan x

La [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x) est $\sec^2 x$. Dériver $\sec^2 x$ revient donc à dériver $\tan x$ deux fois :

$$\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

Son signe indique la convexité de $\tan x$ : concave pour $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ et convexe pour $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

## Variantes composées

$$\frac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x)$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2)$.

**Exemple 3 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\sec^2\frac{\pi}{4} = 2$ et $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, donc la pente vaut $2\cdot 2\cdot 1 = 4$.

**Exemple 4 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x$.

## Où la rencontrer

La dérivée de $\sec^2 x$ apparaît surtout à deux endroits. Le premier est l'étude de la convexité et des points d'inflexion de $\tan x$, puisque $\sec^2 x$ est sa dérivée première. Le second est l'intégration, où reconnaître $2\sec^2 x\tan x$ comme une dérivée permet de l'intégrer rapidement par changement de variable : poser $u = \tan x$ transforme $\int 2\tan x\sec^2 x\,dx$ en $\int 2u\,du = \tan^2 x + C$. Comme $\tan^2 x$ et $\sec^2 x$ ne diffèrent que de $1$, c'est la même famille de primitives.

## Erreurs fréquentes

1. **S'arrêter à $2\sec x$.** Ce n'est que la dérivée extérieure. Multipliez par $\sec x\tan x$.
2. **Répondre $\tan x$.** $\tan x$ est l'intégrale de $\sec^2 x$, pas sa dérivée. Voir l'[intégrale de sec²x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Confondre $\sec^2 x$ et $\sec(x^2)$.** $\frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2)$, ce qui est différent.

Les carrés du sinus et du cosinus suivent le même schéma : voir la [dérivée de sin²x](/derivatives/sin-squared-x) et la [dérivée de cos²x](/derivatives/cos-squared-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sec²x ?

C'est $2\sec^2 x\tan x$.

### Quelle est la dérivée seconde de tan x ?

La dérivée première est $\sec^2 x$, et sa dérivée est $2\sec^2 x\tan x$. Donc $\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.

### Quelle est la dérivée de sec²(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $2\sec(2x)\cdot\sec(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 4\sec^2(2x)\tan(2x)$.

### La dérivée de sec²x est-elle tan x ?

Non, c'est l'inverse. $\tan x$ est la primitive de $\sec^2 x$. La dérivée de $\sec^2 x$ est $2\sec^2 x\tan x$.