# Dérivée de sec x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sec x est sec x tan x. Démonstration à partir de 1/cos x, version composée pour sec(u), courbe et exemples comme sec(2x) et x sec x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sec-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\sec x\tan x$ pour $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Avec sin et cos:** $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'$
- **Pente en x = 0:** $\sec 0\tan 0 = 0$
- **Version intégrale:** $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$.
- On l'obtient en écrivant $\sec x = (\cos x)^{-1}$ et en utilisant la règle de dérivation en chaîne.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$.
- Lue à l'envers, elle donne $\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$.

La **dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$**. La sécante est l'inverse du cosinus, donc sa dérivée découle directement de la [dérivée de cos x](/derivatives/cos-x).

$$\frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x$$

## Courbe de sec x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sec x et de sa dérivée y = sec x tan x'
caption: 'Une branche de $\sec x$. Elle atteint un minimum en $x = 0$, où la dérivée vaut $0$. À gauche de $0$, la pente est négative, à droite de $0$, elle est positive.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-1.25, 1.25]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'minimum, pente 0']
```

## Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Écrivons $\sec x = (\cos x)^{-1}$. La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), avec la puissance $-1$ à l'extérieur et $\cos x$ à l'intérieur, donne

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

On sépare la fraction en deux morceaux familiers :

$$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

La [règle du quotient](/rules/quotient-rule) appliquée à $\frac{1}{\cos x}$ donne la même chose : $\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

## La version composée : dérivée de sec(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$$

$\sec$ et $\tan$ gardent toutes les deux le même intérieur.

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\sec(2x)$ | $2x$ | $2\sec(2x)\tan(2x)$ |
| $\sec(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec(x^2)\tan(x^2)$ |
| $\sec(3x + 1)$ | $3x + 1$ | $3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1)$ |
| $\sec\left(\frac{1}{x}\right)$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x}$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x)$.

**Exemple 2 : une puissance.** $\frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x$.

**Exemple 3 : une somme qui se simplifie.** $\frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$. Ce joli résultat est l'astuce derrière l'[intégrale de sec x](/integrals/sec-x), $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Exemple 4 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{3}$, $\sec\frac{\pi}{3} = 2$ et $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, donc la pente vaut $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

## Comment la retenir

En analyse, sécante et tangente vont toujours ensemble. La dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x$, et la dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$. Un moyen de ne pas les confondre : la dérivée de la tangente ne contient pas de tangente, alors que celle de la sécante contient chacune des deux fonctions une fois. Vérifier une valeur aide aussi. En $x = 0$, la sécante atteint son minimum, donc la pente doit être nulle, et en effet $\tan 0 = 0$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\tan^2 x$ ou $\sec^2 x$.** La dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$. $\sec^2 x$ est la dérivée de $\tan x$.
2. **Ajouter un signe moins.** La sécante n'est pas une fonction en « co », donc sa dérivée est positive. Comparez avec la [dérivée de csc x](/derivatives/csc-x), $-\csc x\cot x$.
3. **Ne changer qu'un seul intérieur.** $\frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x)$. Les deux facteurs gardent $5x$.

Lu à l'envers, le résultat donne l'[intégrale de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x). La page des [fonctions trigonométriques inverses](/functions/reciprocal-trig-functions) présente la courbe de la sécante.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sec x ?

La dérivée de $\sec x$ est $\sec x\tan x$.

### Comment démontrer la dérivée de sec x ?

On écrit $\sec x = (\cos x)^{-1}$. La règle de dérivation en chaîne donne $-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$.

### Quelle est la dérivée de sec(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $2\sec(2x)\tan(2x)$.

### Quelle est la dérivée de sec²x ?

C'est $2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.