# Dérivée de sin 2x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sin 2x est 2cos 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification avec 2 sin x cos x, règle générale pour sin(ax) et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sin-2x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x $$

## En bref

- **Dérivée:** $2\cos 2x$
- **Règle générale:** $\dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$
- **Dérivée seconde:** $-4\sin 2x$
- **Période:** $\pi$, la moitié de la période de $\sin x$
- **Intégrale de sin 2x:** $\int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sin 2x$ est $2\cos 2x$. Le 2 de l'intérieur passe devant.
- Plus généralement, $\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$.
- L'intérieur $2x$ reste le même dans la réponse. Ne le remplacez pas par $x$.
- Réécrire $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ et utiliser la règle du produit donne le même résultat.

La **dérivée de $\sin 2x$ est $2\cos 2x$**. La règle de dérivation en chaîne fait sortir le facteur intérieur $2$ devant, et l'intérieur $2x$ reste le même.

$$\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x$$

## Courbe de sin 2x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sin 2x et de sa dérivée y = 2cos 2x'
caption: '$\sin 2x$ oscille deux fois plus vite que $\sin x$, donc ses pentes sont deux fois plus fortes. La dérivée atteint $\pm 2$.'
x: [-3.3, 3.3]
y: [-2.5, 2.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x
  - expr: 2cos(2x)
    label: y = 2cos 2x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'pente 2']
  - [0.7854, 1, 'sommet, pente 0']
```

## Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Fonction extérieure $\sin u$, fonction intérieure $u = 2x$, donc $u' = 2$. Avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) et la [dérivée de sin x](/derivatives/sin-x) :

$$\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x$$

## Vérification par la formule de duplication

Réécrivons $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ et utilisons la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) = 2\left(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\right) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$$

La formule de duplication $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ transforme cela en $2\cos 2x$. Deux méthodes, une seule réponse.

## Pourquoi le 2 sort

Comprimer la courbe horizontalement d'un facteur 2 la rend deux fois plus raide partout. C'est ce que traduit le facteur $2$ devant $\cos 2x$. En général :

$$\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \qquad \frac{d}{dx}\sin(ax + b) = a\cos(ax + b)$$

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\sin 3x$ | $3\cos 3x$ |
| $\sin\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$ |
| $\sin(2x + 1)$ | $2\cos(2x + 1)$ |
| $\sin(\pi x)$ | $\pi\cos(\pi x)$ |
| $5\sin 2x$ | $10\cos 2x$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{6}$, la pente vaut $2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$.

**Exemple 2 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$.

**Exemple 3 : dérivées successives.** Chaque dérivation fait sortir un nouveau $2$ : $\frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x$, $\frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x$, et $\frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x$.

**Exemple 4 : un lien avec sin²x.** La [dérivée de sin²x](/derivatives/sin-squared-x) est $\sin 2x$. Donc $\sin^2 x$ est une primitive de $\sin 2x$, tout comme $-\frac{1}{2}\cos 2x$. Elles diffèrent d'une constante, puisque $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$.

## Où la rencontrer

La fonction $\sin 2x$ apparaît chaque fois qu'une onde se répète deux fois plus souvent que $\sin x$. Elle apparaît aussi comme réponse simplifiée, par exemple comme dérivée de $\sin^2 x$, donc connaître sa propre dérivée fait gagner du temps sur les dérivées secondes. En physique, $\sin 2\theta$ apparaît dans la portée d'un projectile, et sa dérivée indique comment la portée varie quand on modifie l'angle de tir.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le 2.** $\frac{d}{dx}\sin 2x$ n'est pas $\cos 2x$.
2. **Modifier l'intérieur.** La réponse est $2\cos 2x$, et non $2\cos x$.
3. **Diviser au lieu de multiplier.** Le $\frac{1}{2}$ apparaît quand on intègre, pas quand on dérive. Voir l'[intégrale de sin 2x](/integrals/sin-2x).
4. **Confondre $\sin 2x$ et $2\sin x$.** $\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$. Les courbes sont différentes.

Pour d'autres exercices sur la dérivation en chaîne, essayez les [exercices sur la règle de dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sin 2x ?

C'est $2\cos 2x$, d'après la règle de dérivation en chaîne.

### Pourquoi la dérivée de sin 2x n'est-elle pas cos 2x ?

À cause de la règle de dérivation en chaîne. L'intérieur $2x$ a pour dérivée $2$, et il faut multiplier par ce facteur.

### Quelle est la dérivée de 2 sin x cos x ?

C'est $2\cos 2x$, puisque $2\sin x\cos x = \sin 2x$. La règle du produit donne $2(\cos^2 x - \sin^2 x)$, ce qui revient au même.

### Quelle est la dérivée de sin(2x + 1) ?

C'est $2\cos(2x + 1)$. La constante $1$ ne change pas la dérivée intérieure.