# Dérivée de sin²x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sin²x est 2 sin x cos x, soit sin 2x. Démonstration par la dérivation en chaîne, vérification par la formule de duplication et exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sin-carre-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x $$

## En bref

- **Dérivée:** $2\sin x\cos x$
- **Forme simplifiée:** $\sin 2x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'$
- **À ne pas confondre avec:** $\sin(x^2)$, dont la dérivée est $2x\cos(x^2)$
- **Intégrale de sin²x:** $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sin^2 x$ est $2\sin x\cos x$, qui se simplifie en $\sin 2x$.
- Lisez $\sin^2 x$ comme $(\sin x)^2$ : le carré est la fonction extérieure, $\sin x$ la fonction intérieure.
- L'identité $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ donne la même réponse, ce qui fait une bonne vérification.
- $\sin^2 x$ et $\sin(x^2)$ sont deux fonctions différentes, avec des dérivées différentes.

La **dérivée de $\sin^2 x$ est $2\sin x\cos x$**, que la formule de duplication raccourcit en $\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x$$

## Courbe de sin²x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sin²x et de sa dérivée y = sin 2x'
caption: '$\sin^2 x$ oscille entre $0$ et $1$ avec une période $\pi$. Sa pente vaut $0$ à chaque sommet et à chaque contact avec l''axe, c''est-à-dire là où $\sin 2x = 0$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sin²x
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0.7854, 0.5, 'plus raide, pente 1']
  - [1.5708, 1, 'sommet, pente 0']
```

## Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

La notation $\sin^2 x$ signifie $(\sin x)^2$. À l'extérieur, le carré ; à l'intérieur, $\sin x$. La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x\cdot\frac{d}{dx}\sin x = 2\sin x\cos x$$

La formule de duplication $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ permet de l'écrire $\sin 2x$.

## Vérification par la formule de duplication

On réécrit d'abord avec $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ :

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = \sin 2x$$

Même réponse, sans dériver de carré. Cette formule de linéarisation sert aussi à l'intégrer, voir l'[intégrale de sin²x](/integrals/sin-squared-x).

## Vérification par la règle du produit

Écrivons $\sin^2 x = \sin x\cdot\sin x$ et utilisons la [règle du produit](/rules/product-rule) : $\cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$.

## Variantes composées

$$\frac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u' = \sin(2u)\cdot u'$$

| Fonction | Dérivée | Forme simplifiée |
| --- | --- | --- |
| $\sin^2(3x)$ | $6\sin 3x\cos 3x$ | $3\sin 6x$ |
| $\sin^2(x^2)$ | $4x\sin(x^2)\cos(x^2)$ | $2x\sin(2x^2)$ |
| $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\sin x$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance plus élevée.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$.

**Exemple 2 : une valeur.** En $x = \frac{\pi}{4}$, la pente vaut $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. C'est le point où $\sin^2 x$ est la plus raide.

**Exemple 3 : pente maximale.** La dérivée $\sin 2x$ vaut au plus $1$, donc $\sin^2 x$ ne monte jamais avec une pente supérieure à $1$, la même vitesse maximale que $\sin x$.

**Exemple 4 : dérivée seconde.** $\frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x$, donc $\sin^2 x$ est convexe là où $\cos 2x > 0$, par exemple sur $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.

## Pourquoi la réponse est de période π

La fonction $\sin^2 x$ n'est jamais négative, donc sa courbe se répète tous les $\pi$ au lieu de tous les $2\pi$. La dérivée $\sin 2x$ est elle aussi de période $\pi$, ce qui est une bonne vérification de cohérence : une fonction et sa dérivée doivent se répéter ensemble. Si votre réponse était de période $2\pi$, comme $2\cos x$, il y a une erreur. Comparer les périodes permet de repérer une faute sans refaire tout le calcul.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\cos^2 x$.** Élever la dérivée au carré, ce n'est pas la règle de dérivation en chaîne.
2. **Répondre $2\cos x$.** La dérivée du carré donne $2\sin x$, puis on multiplie par $\cos x$.
3. **Confondre $\sin^2 x$ et $\sin(x^2)$.** Voir la [dérivée de sin(x²)](/derivatives/sin-x-squared) : $2x\cos(x^2)$.

La version avec le cosinus est sur la page [dérivée de cos²x](/derivatives/cos-squared-x), et le résultat $\sin 2x$ a sa propre page [dérivée de sin 2x](/derivatives/sin-2x).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sin²x ?

C'est $2\sin x\cos x$, ce qui revient à $\sin 2x$.

### Quelle est la dérivée de sin²(3x) ?

En appliquant deux fois la règle de dérivation en chaîne, $2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$.

### La dérivée de sin²x est-elle 2 cos x ?

Non. Cela oublie la règle de dérivation en chaîne. Le carré donne $2\sin x$, puis on multiplie par la dérivée de $\sin x$, qui est $\cos x$.

### Pourquoi la somme des dérivées de sin²x et cos²x est-elle nulle ?

Parce que $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, une constante. En effet, $\sin 2x + (-\sin 2x) = 0$.