# Dérivée de sin(x²) : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sin(x²) est 2x cos(x²). La dérivation en chaîne pas à pas, la différence avec sin²x, la dérivée seconde et des exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sin-x-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) $$

## En bref

- **Dérivée:** $2x\cos(x^2)$
- **Extérieur et intérieur:** Extérieur $\sin u$, intérieur $u = x^2$
- **Dérivée seconde:** $2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$
- **À ne pas confondre avec:** $\sin^2 x$, dont la dérivée est $\sin 2x$
- **Intégrale:** $\int\sin(x^2)\,dx$ n'a pas de primitive élémentaire

## À retenir

- La dérivée de $\sin(x^2)$ est $2x\cos(x^2)$.
- C'est un exercice de dérivation en chaîne : le cosinus du même intérieur, multiplié par la dérivée de $x^2$.
- Gardez $x^2$ dans le cosinus. La réponse n'est pas $2x\cos x$.
- $\sin(x^2)$ et $\sin^2 x$ sont des fonctions différentes, attention à la notation.

La **dérivée de $\sin(x^2)$ est $2x\cos(x^2)$**. C'est un exercice classique de [dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) : le sinus est à l'extérieur et $x^2$ à l'intérieur.

$$\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$$

## Courbe de sin(x²) et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sin(x²) et de sa dérivée y = 2x cos(x²)'
caption: 'Les oscillations de $\sin(x^2)$ se resserrent quand $\lvert x\rvert$ augmente, donc les pentes deviennent plus fortes. Le facteur $2x$ de la dérivée traduit ce phénomène.'
x: [-3.2, 3.2]
y: [-7, 7]
functions:
  - expr: sin(x^2)
    label: y = sin(x²)
  - expr: 2x cos(x^2)
    label: y = 2x cos(x²) (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'plat, pente 0']
  - [1.2533, 1, 'sommet, pente 0']
```

Contrairement à $\sin x$, cette fonction n'est pas périodique. Elle accélère à mesure qu'on s'éloigne de $0$, et la dérivée grandit à peu près comme $2x$.

## Démonstration par la règle de dérivation en chaîne

Posons $u = x^2$, donc $y = \sin u$. Alors

$$\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$

On multiplie :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

L'intérieur $x^2$ est recopié tel quel dans le cosinus. La dérivée de l'intérieur, $2x$, passe devant. Les deux ingrédients sont la [dérivée de sin x](/derivatives/sin-x) et la [dérivée de x²](/derivatives/x-squared).

## sin(x²) ou sin²x

Ces deux fonctions se confondent facilement et ont des dérivées différentes :

| Fonction | Signification | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\sin(x^2)$ | sinus de $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin^2 x$ | $(\sin x)^2$ | $2\sin x\cos x = \sin 2x$ |
| $\sin 2x$ | sinus de $2x$ | $2\cos 2x$ |

En $x = 1$, par exemple, $\sin(1) \approx 0.841$ alors que $\sin^2(1) \approx 0.708$. Voir la [dérivée de sin²x](/derivatives/sin-squared-x) et la [dérivée de sin 2x](/derivatives/sin-2x).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une constante à l'intérieur.** $\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$.

**Exemple 2 : une valeur.** En $x = \sqrt{\pi}$, $x^2 = \pi$ et $\cos\pi = -1$, donc la pente vaut $2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54$.

**Exemple 3 : un produit.** Avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin(x^2)\right) = \sin(x^2) + x\cdot 2x\cos(x^2) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$$

**Exemple 4 : dérivée seconde.** On dérive $2x\cos(x^2)$ avec la règle du produit :

$$\frac{d}{dx}\left(2x\cos(x^2)\right) = 2\cos(x^2) + 2x\cdot\left(-2x\sin(x^2)\right) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$$

**Exemple 5 : d'autres puissances.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3)$ et $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

## Repérer l'extérieur et l'intérieur

Le plus difficile dans cet exercice est de bien le lire. Demandez-vous quelle opération vous feriez en dernier si vous remplaciez la variable par un nombre. Pour $\sin(x^2)$ avec $x = 3$, on élève d'abord au carré pour obtenir $9$, puis on prend le sinus. La dernière étape, le sinus, est la fonction extérieure. La première, le carré, est l'intérieur. Cet ordre indique exactement comment appliquer la règle de dérivation en chaîne. Le même test fonctionne pour toute composée : ce qui se fait en dernier se dérive en premier, et le reste est multiplié comme dérivée intérieure.

## Erreurs fréquentes

1. **Oublier le $2x$.** $\cos(x^2)$ seul n'est que la dérivée extérieure.
2. **Modifier l'intérieur.** Écrire $2x\cos x$ ou $\cos 2x$ fait perdre le $x^2$.
3. **Le lire comme $\sin^2 x$.** Vérifiez les parenthèses avant de commencer.

Appliquer la règle de dérivation en chaîne à l'envers, c'est le [changement de variable](/rules/u-substitution-rule) : $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$. Entraînez-vous davantage avec les [exercices sur la règle de dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sin(x²) ?

C'est $2x\cos(x^2)$. La dérivée extérieure est $\cos(x^2)$ et la dérivée intérieure est $2x$.

### Quelle est la différence entre sin(x²) et sin²x ?

Dans $\sin(x^2)$, on élève d'abord $x$ au carré, puis on prend le sinus. Dans $\sin^2 x = (\sin x)^2$, on prend d'abord le sinus, puis on élève au carré. Leurs dérivées sont $2x\cos(x^2)$ et $2\sin x\cos x$.

### Quelle est la dérivée de sin(3x²) ?

C'est $6x\cos(3x^2)$, puisque la dérivée de $3x^2$ est $6x$.

### Quelle est l'intégrale de sin(x²) ?

Elle n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles. Elle définit l'intégrale de Fresnel et se calcule en général numériquement. En revanche, $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$ par changement de variable.