# Dérivée de sin x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sin x est cos x. Démonstration par la limite, version composée pour sin(u), courbe et exemples corrigés comme sin(3x) et x sin x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sin-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\cos x$ pour tout réel $x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$
- **Dérivée seconde:** $-\sin x$
- **Unités:** $x$ doit être en radians
- **Version intégrale:** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$, donc $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.
- La démonstration repose sur deux limites : $\frac{\sin h}{h} \to 1$ et $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$.
- La formule n'est valable que si $x$ est mesuré en radians.

La **dérivée de $\sin x$ est $\cos x$**. Là où la sinusoïde monte, le cosinus est positif. Là où elle descend, le cosinus est négatif.

$$\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x$$

## Courbe de sin x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sin x et de sa dérivée y = cos x'
caption: 'Aux sommets et aux creux de $\sin x$, la pente vaut $0$ et $\cos x$ coupe l''axe. En $x = 0$, la pente de $\sin x$ vaut $1 = \cos 0$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'pente 1']
  - [1.5708, 1, 'sommet, pente 0']
```

## Démonstration par la définition avec une limite

On utilise la formule d'addition $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$ :

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Deux limites classiques permettent de conclure. Quand $h \to 0$, $\frac{\sin h}{h} \to 1$ (démontré avec le [théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem)) et $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$. Donc

$$\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

La limite $\frac{\sin h}{h} \to 1$ n'est vraie qu'avec $h$ en radians. C'est la vraie raison pour laquelle l'analyse utilise les radians.

## La version composée : dérivée de sin(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sin u = \cos u \cdot u'$$

On garde l'intérieur, on remplace sinus par cosinus, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Voir la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule).

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\sin(3x)$ | $3x$ | $3\cos(3x)$ |
| $\sin(2x)$ | $2x$ | $2\cos(2x)$ |
| $\sin(x^2)$ | $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\cos(e^x)$ |
| $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ |

Pages complètes : [dérivée de sin 2x](/derivatives/sin-2x) et [dérivée de sin(x²)](/derivatives/sin-x-squared).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un produit.** Dérivons $f(x) = x\sin x$ avec la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$f'(x) = \sin x + x\cos x$$

**Exemple 2 : une puissance du sinus.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$. La fonction extérieure est le cube, la fonction intérieure est $\sin x$.

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = \frac{\pi}{3}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et la pente vaut $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ :

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$

**Exemple 4 : dérivées successives.** Les dérivées de $\sin x$ reviennent tous les quatre pas : $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$, puis de nouveau $\sin x$. La dérivée dixième est donc la même que la dérivée seconde : $-\sin x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Ajouter un signe moins.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, positif. Le moins appartient à la [dérivée de cos x](/derivatives/cos-x).
2. **Modifier l'intérieur.** $\frac{d}{dx}\sin(3x)$ vaut $3\cos(3x)$, et non $3\cos x$ ou $\cos 3$.
3. **Confondre $\sin^2 x$ et $\sin(x^2)$.** Leurs dérivées sont $2\sin x\cos x$ et $2x\cos(x^2)$.
4. **Travailler en degrés.** En degrés, un facteur supplémentaire $\frac{\pi}{180}$ apparaît.

Le sens inverse est traité sur la page [intégrale de sin x](/integrals/sin-x). Pour une vue d'ensemble, lisez [dérivées des fonctions trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions) ou faites les [exercices de dérivées trigonométriques](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sin x ?

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$.

### Quelle est la dérivée de sin(3x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

### Quelle est la dérivée de sin x en degrés ?

Si $x$ est en degrés, $\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$. La réponse simple $\cos x$ ne marche qu'en radians, et c'est pour cela que l'analyse utilise les radians.

### La dérivée de sin x est-elle -cos x ?

Non. $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$. Le signe moins appartient à l'intégrale, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, et à la dérivée du cosinus, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.