# Dérivée de sinh x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de sinh x (sh x) est cosh x. Démonstration à partir des exponentielles, pourquoi il n'y a pas de signe moins, exemples composés et courbe.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-sinh-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\cosh x$
- **Définition:** $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$
- **Dérivée seconde:** $\sinh x$
- **Dérivée de la réciproque:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## À retenir

- La dérivée de $\sinh x$ est $\cosh x$.
- La démonstration découle directement de $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
- Contrairement à $\sin x$ et $\cos x$, il n'y a pas de signe moins : $\sinh$ et $\cosh$ sont chacune la dérivée de l'autre.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$.

La **dérivée de $\sinh x$ est $\cosh x$**. Le sinus hyperbolique (noté aussi sh) se comporte souvent comme le sinus ordinaire, mais sa dérivée ne réserve aucune surprise de signe.

$$\frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x$$

## Démonstration à partir de la définition

Le sinus et le cosinus hyperboliques sont définis à l'aide d'exponentielles :

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

On dérive $\sinh x$ terme à terme. La [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est $e^x$, et la [dérivée de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) est $-e^{-x}$ :

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Les deux signes moins se compensent, c'est pourquoi la réponse est $+\cosh x$.

## Courbe de sinh x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = sinh x et de sa dérivée y = cosh x'
caption: 'La pente de $\sinh x$ n''est jamais inférieure à $1$, la valeur de $\cosh 0$. Donc $\sinh x$ est toujours croissante et passe par l''origine avec un angle de 45°.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pente 1']
```

Comme $\cosh x \ge 1$ pour tout $x$, la courbe de $\sinh x$ monte toujours, et sa pente minimale vaut $1$ à l'origine. Sa tangente en $0$ est $y = x$.

## Dérivées hyperboliques et circulaires

| Circulaire | Dérivée | Hyperbolique | Dérivée |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Le sinus ordinaire forme un cycle de période quatre : $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$. Le sinus hyperbolique forme un cycle de période deux : $\sinh \to \cosh \to \sinh$. Ainsi $y = \sinh x$ est solution de $y'' = y$, alors que $y = \sin x$ est solution de $y'' = -y$.

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x)$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2)$.

**Exemple 3 : règle du produit.** $\frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x$.

**Exemple 4 : une puissance.** $\frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x)$, avec l'identité $\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$.

**Exemple 5 : un logarithme.** $\frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x$ pour $x > 0$.

## Dérivée de la réciproque, arsinh x

La réciproque du sinus hyperbolique (argument sinus hyperbolique) s'écrit avec un logarithme : $\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$. Sa dérivée est

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

On la démontre comme la [dérivée de arcsin x](/derivatives/arcsin-x) : on pose $\sinh y = x$, on dérive pour obtenir $\cosh y\,y' = 1$, et on utilise $\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}$. C'est ce résultat qui donne $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C$.

## Erreurs fréquentes

1. **Ajouter un signe moins.** $\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, et non $-\cosh x$. Seul le cosinus circulaire prend un moins.
2. **Confondre $\sinh x$ et $\sin x$.** Elles suivent un schéma semblable mais ce sont des fonctions différentes, aux courbes différentes.
3. **Oublier la dérivation en chaîne.** $\frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x)$.

Pour les résultats associés, voir la [dérivée de cosh x](/derivatives/cosh-x) et la [dérivée de tanh x](/derivatives/tanh-x). La page des [fonctions hyperboliques](/functions/hyperbolic-functions) présente leurs courbes et leurs identités.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de sinh x ?

La dérivée de $\sinh x$ est $\cosh x$.

### Quelle est la dérivée de sinh(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $2\cosh(2x)$.

### Pourquoi la dérivée de sinh x n'a-t-elle pas de signe moins comme cos ?

Parce que $\sinh$ est construite à partir d'exponentielles, et non à partir du cercle trigonométrique. Dériver $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ donne $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$, sans changement de signe.

### Quelle est la dérivée de l'argument sinus hyperbolique ?

La dérivée de $\operatorname{arsinh} x$ (aussi notée $\sinh^{-1} x$) est $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.