# Dérivée de tan x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de tan x est sec²x, soit 1 + tan²x. Démonstration par le quotient, version composée pour tan(u) et exemples comme tan(4x) et tan²x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-tan-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\sec^2 x$ pour $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Autres formes:** $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$
- **Pente en x = 0:** $\sec^2 0 = 1$
- **Version intégrale:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## À retenir

- La dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x$, qui vaut aussi $1 + \tan^2 x$.
- Elle provient de la règle du quotient appliquée à $\frac{\sin x}{\cos x}$ et de l'identité $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Comme $\sec^2 x \ge 1$, $\tan x$ est croissante sur chaque intervalle où elle est définie.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$.

La **dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x$**. On la trouve aussi écrite $\frac{1}{\cos^2 x}$ ou $1 + \tan^2 x$. Ces trois expressions désignent la même fonction.

$$\frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x$$

## Courbe de tan x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = tan x et de sa dérivée y = sec²x'
caption: 'Une branche de $\tan x$ entre ses asymptotes. La pente est minimale en $x = 0$, où elle vaut $1$, et grandit sans limite près de $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-1.2, 1.2]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 0, 'pente 1']
```

Comme $\sec^2 x$ n'est jamais inférieur à $1$, la fonction tangente est toujours croissante entre ses asymptotes. Elle n'a jamais de tangente horizontale.

## Démonstration par la règle du quotient

Écrivons $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ et utilisons la [règle du quotient](/rules/quotient-rule) :

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

La relation de Pythagore transforme le numérateur en $1$ :

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Si on sépare plutôt la fraction avant de simplifier, on obtient $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$. Cette forme est pratique quand la réponse doit s'écrire uniquement avec $\tan x$.

## La version composée : dérivée de tan(u)

$$\frac{d}{dx}\,\tan u = \sec^2 u\cdot u'$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée |
| --- | --- | --- |
| $\tan(4x)$ | $4x$ | $4\sec^2(4x)$ |
| $\tan(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec^2(x^2)$ |
| $\tan\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\tan(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\sec^2(e^x)$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une puissance de tan.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x$. Ici, tan est la fonction intérieure et le carré la fonction extérieure.

**Exemple 2 : un produit.** $\frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x$, d'après la [règle du produit](/rules/product-rule).

**Exemple 3 : une tangente.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ et la pente vaut $\sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2$ :

$$y = 1 + 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$

**Exemple 4 : dérivée seconde.** $\frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$, calculée sur la page [dérivée de sec²x](/derivatives/sec-squared-x). Elle est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$, donc $\tan x$ a un point d'inflexion à l'origine.

## Comment la retenir

La tangente est la pente d'une droite issue de l'origine formant un angle $x$. Quand l'angle s'approche d'un angle droit, cette pente explose, et $\sec^2 x$ aussi. En $x = 0$, la courbe de la tangente passe par l'origine avec un angle de 45 degrés, ce qui correspond à une dérivée égale à $1$.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\sec x$ au lieu de $\sec^2 x$.** Le carré compte. $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, un autre résultat.
2. **Écrire $\sec^2 x\tan x$.** C'est la dérivée de $\frac{1}{2}\sec^2 x$, pas celle de $\tan x$.
3. **Appliquer la formule sur une asymptote.** $\tan x$ et sa dérivée n'existent pas en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Lue à l'envers, la formule donne $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$, voir l'[intégrale de sec²x](/integrals/sec-squared-x). Pour $\int\tan x\,dx$, voir l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de tan x ?

La dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

### Pourquoi la dérivée de tan x est-elle sec² x ?

On écrit $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. La règle du quotient donne $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.

### Quelle est la dérivée de tan(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, $2\sec^2(2x)$.

### Quelle est la dérivée de tan²x ?

C'est $2\tan x\sec^2 x$. La fonction extérieure est le carré et la fonction intérieure est $\tan x$.