# Dérivée de tanh x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de tanh x (th x) est sech² x, soit 1 − tanh² x. Démonstration par le quotient, exemples composés, courbe et dérivée de artanh.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-tanh-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x $$

## En bref

- **Dérivée:** $\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}$
- **Forme équivalente:** $1 - \tanh^2 x$
- **Définition:** $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$
- **Ensemble image de tanh x:** $(-1, 1)$
- **Dérivée de la réciproque:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2}$ pour $\lvert x\rvert < 1$

## À retenir

- La dérivée de $\tanh x$ est $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.
- On peut aussi l'écrire $1 - \tanh^2 x$, ce qui est pratique pour les équations différentielles et les réseaux de neurones.
- La démonstration utilise la règle du quotient et l'identité $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
- La pente vaut $1$ en $x = 0$ et diminue vers $0$ quand $\tanh x$ se stabilise vers $\pm 1$.

La **dérivée de $\tanh x$ est $\operatorname{sech}^2 x$**, que l'on peut aussi écrire $1 - \tanh^2 x$.

$$\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$$

Ici, $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, donc $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.

## Démonstration par la règle du quotient

Écrivons $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ et utilisons la [règle du quotient](/rules/quotient-rule), sachant que la [dérivée de sinh x](/derivatives/sinh-x) est $\cosh x$ et que la [dérivée de cosh x](/derivatives/cosh-x) est $\sinh x$ :

$$\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$$

L'identité hyperbolique $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ simplifie le numérateur :

$$\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$$

En séparant plutôt la fraction, on obtient l'autre forme : $\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$.

## Courbe de tanh x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = tanh x et de sa dérivée y = sech² x'
caption: 'La tangente hyperbolique est une courbe en S comprise entre $-1$ et $1$. Sa pente vaut $1$ à l''origine et tend vers $0$ des deux côtés.'
x: [-4, 4]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
  - expr: 1/cosh(x)^2
    label: y = sech² x (dérivée)
    dashed: true
  - expr: 1
    label: y = 1
    dashed: true
  - expr: -1
    label: y = −1
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pente 1']
```

La dérivée est toujours positive, donc $\tanh x$ est toujours croissante. Mais elle n'atteint jamais $\pm 1$ ; ce sont des asymptotes horizontales. Comparez avec la [dérivée de arctan x](/derivatives/arctan-x), une autre courbe en S de pente $1$ à l'origine, même si arctan s'approche de ses asymptotes beaucoup plus lentement.

## Comparer tan et tanh

| Fonction | Dérivée | En fonction d'elle-même |
| --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $1 + \tan^2 x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ | $1 - \tanh^2 x$ |

Le changement de signe vient des identités : $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ mais $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$.

## Version composée et exemples

$$\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x)$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2)$.

**Exemple 3 : un logarithme.** $\frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$. Donc $\int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C$.

**Exemple 4 : une valeur.** En $x = 1$, $\tanh 1 \approx 0.7616$, donc la pente vaut $1 - 0.7616^2 \approx 0.420$.

## Où l'on rencontre 1 − tanh² x

En apprentissage automatique, $\tanh$ est une fonction d'activation courante. L'entraînement a besoin de sa dérivée un très grand nombre de fois, et la forme $1 - \tanh^2 x$ permet au programme de réutiliser la valeur de $\tanh x$ déjà calculée au lieu d'évaluer $\cosh x$.

## Dérivée de artanh x

Pour $\lvert x\rvert < 1$, posons $\tanh y = x$. Alors $(1 - \tanh^2 y)\,y' = 1$, donc

$$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$$

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $\sec^2 x$.** C'est la dérivée de la tangente circulaire.
2. **Écrire $1 + \tanh^2 x$.** La version hyperbolique comporte un signe moins.
3. **Oublier la dérivée intérieure.** $\frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x)$.

La page des [fonctions hyperboliques](/functions/hyperbolic-functions) présente aussi $\operatorname{sech}$, $\operatorname{csch}$ et $\coth$.

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de tanh x ?

La dérivée de $\tanh x$ est $\operatorname{sech}^2 x$, qui vaut aussi $1 - \tanh^2 x$.

### Quelle est la dérivée de tanh(2x) ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $2\operatorname{sech}^2(2x)$.

### Pourquoi écrit-on la dérivée de tanh sous la forme 1 − tanh² x ?

Parce que $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$. Divisez $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ par $\cosh^2 x$ pour le voir. Cette forme permet de calculer la pente à partir de la seule valeur de $\tanh x$.

### Quelle est la dérivée de artanh x ?

Pour $\lvert x\rvert < 1$, $\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$.