# Dérivée de |x| : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de |x| est x/|x| : 1 pour x > 0, -1 pour x < 0, et elle n'existe pas en 0. Démonstration, point anguleux en 0 et version composée pour |u|.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-valeur-absolue-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} $$

## En bref

- **Dérivée:** $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$ pour $x \ne 0$
- **Forme par morceaux:** $1$ pour $x > 0$, $-1$ pour $x < 0$
- **En x = 0:** N'existe pas, la courbe a un point anguleux
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\lvert u\rvert = \dfrac{u}{\lvert u\rvert}\,u'$
- **Version intégrale:** $\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$

## À retenir

- La dérivée de $\lvert x\rvert$ vaut $1$ pour $x > 0$ et $-1$ pour $x < 0$.
- Une écriture compacte est $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, aussi notée $\operatorname{sgn}(x)$.
- En $x = 0$, les pentes à gauche et à droite diffèrent, donc $\lvert x\rvert$ n'y est pas dérivable.
- $\lvert x\rvert$ est continue partout : elle montre que continue n'implique pas dérivable.

La **dérivée de $\lvert x\rvert$ est $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$**. Concrètement, la pente vaut $1$ à droite de $0$, $-1$ à gauche de $0$, et il n'y a pas de pente en $0$ lui-même.

$$\frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

## Courbe de |x| et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = |x| et de sa dérivée'
caption: 'Le V a une pente de $-1$ à gauche et de $1$ à droite. La dérivée fait un saut en $x = 0$, où elle n''est pas définie.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: abs(x)/x
    label: dérivée
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'point anguleux, pas de dérivée']
```

## Démonstration, morceau par morceau

On sépare $\lvert x\rvert$ en ses deux morceaux. Pour $x > 0$, $\lvert x\rvert = x$, donc la dérivée vaut $1$. Pour $x < 0$, $\lvert x\rvert = -x$, donc la dérivée vaut $-1$. Dans les deux cas, la réponse est égale à $\frac{x}{\lvert x\rvert}$ : diviser un nombre par sa valeur absolue donne simplement son signe.

## Pourquoi il n'y a pas de dérivée en 0

Regardons le taux d'accroissement en $x = 0$ :

$$\frac{\lvert 0 + h\rvert - \lvert 0\rvert}{h} = \frac{\lvert h\rvert}{h}$$

À droite ($h > 0$), il vaut $1$. À gauche ($h < 0$), il vaut $-1$. Les limites à gauche et à droite diffèrent, donc la limite n'existe pas. La courbe présente un point anguleux, et aucune tangente unique ne lui correspond. C'est l'exemple type de la leçon sur la [dérivabilité](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

On peut aussi écrire le résultat sous la forme $\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$, puisque $\lvert x\rvert = \sqrt{x^2}$. Dériver $\sqrt{x^2}$ avec la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) donne $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$, la même formule.

## La version composée : dérivée de |u|

$$\frac{d}{dx}\,\lvert u\rvert = \frac{u}{\lvert u\rvert}\cdot u', \qquad u \ne 0$$

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3$, qui vaut $3$ pour $x > 0$ et $-3$ pour $x < 0$.

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}$. Pour $\lvert x\rvert > 2$, cela donne $2x$. Pour $\lvert x\rvert < 2$, cela donne $-2x$. En $x = \pm 2$, la courbe a des points anguleux et pas de dérivée.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}$, non définie partout où $\sin x = 0$.

## Une fonction construite à partir de |x| qui est dérivable

Multiplier par $x$ adoucit le point anguleux. Prenons $f(x) = x\lvert x\rvert$. Pour $x > 0$, elle vaut $x^2$, pour $x < 0$, elle vaut $-x^2$, donc $f'(x) = 2\lvert x\rvert$. En $0$, le taux d'accroissement vaut $\frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0$, donc $f'(0) = 0$ existe. Cette fonction $f$ est aussi une primitive de $2\lvert x\rvert$, et c'est ainsi qu'on trouve l'[intégrale de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $\lvert 1\rvert = 1$.** La dérivée ne vaut pas $1$ partout. À gauche, elle vaut $-1$.
2. **Affirmer $f'(0) = 0$.** Le point anguleux n'a pas de tangente, donc la dérivée en $0$ n'existe pas.
3. **Croire que continue signifie dérivable.** $\lvert x\rvert$ est continue en $0$ mais n'y a pourtant pas de dérivée.

Pour la fonction elle-même, consultez la page de la [fonction valeur absolue](/functions/absolute-value-function).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de |x| ?

C'est $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, qui vaut $1$ quand $x > 0$ et $-1$ quand $x < 0$. Elle n'existe pas en $x = 0$.

### Pourquoi |x| n'est-elle pas dérivable en 0 ?

La pente à droite vaut $1$ et la pente à gauche vaut $-1$. Les deux limites du taux d'accroissement, à gauche et à droite, sont différentes, donc la dérivée n'existe pas.

### Quelle est la dérivée de |x| en x = 3 ?

C'est $1$, car près de $x = 3$ la fonction est simplement $x$.

### Quelle est la dérivée de |x - 2| ?

C'est $\frac{x - 2}{\lvert x - 2\rvert}$ : $1$ pour $x > 2$, $-1$ pour $x < 2$, et elle n'est pas définie en $x = 2$.