# Dérivée de x² : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de x² est 2x. Démonstration par la limite, version composée pour u², courbe, tangentes et exemples corrigés comme (3x + 1)².

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-x-au-carre
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x $$

## En bref

- **Dérivée:** $2x$ pour tout réel $x$
- **Forme composée:** $\dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$
- **Dérivée seconde:** $\dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2$
- **Pente en x = 0:** $0$, au sommet de la parabole
- **Version intégrale:** $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$

## À retenir

- La dérivée de $x^2$ est $2x$ : on fait descendre le 2 et on diminue l'exposant à 1.
- La pente de $y = x^2$ en $x = a$ vaut $2a$ : elle est négative à gauche, nulle au sommet et positive à droite.
- Avec la règle de dérivation en chaîne, $\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$. N'oubliez pas le $u'$.
- Ne confondez pas $x^2$ et $2^x$ : $\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2$.

La **dérivée de $x^2$ est $2x$**. C'est en général la première dérivée que l'on calcule à la main, et elle montre toute l'idée de la dérivée en une ligne de calcul.

$$\frac{d}{dx}\,x^2 = 2x$$

## Courbe de x² et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = x² et de sa dérivée y = 2x'
caption: 'Là où la parabole descend, $2x$ est négatif. Au sommet, la pente vaut $0$. Là où elle monte, $2x$ est positif.'
x: [-3, 3]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 2x
    label: y = 2x (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'sommet, pente 0']
  - [1, 1, '(1, 1), pente 2']
```

La dérivée augmente avec $x$, donc la parabole devient plus raide à mesure qu'on s'éloigne du sommet. C'est exactement l'allure d'une fonction convexe.

## Démonstration par la définition avec une limite

On part de

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

On développe le carré : $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$. Les termes en $x^2$ se simplifient :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\,(2x + h) = 2x$$

On peut aussi l'obtenir avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule), ou avec la [règle du produit](/rules/product-rule) appliquée à $x \cdot x$ : $1\cdot x + x \cdot 1 = 2x$.

## La version composée : dérivée de u²

Quand on élève au carré autre chose que $x$, on utilise la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) :

$$\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u \cdot u'$$

| Fonction | Intérieur $u$ | Dérivée $2u\,u'$ |
| --- | --- | --- |
| $(3x + 1)^2$ | $3x + 1$ | $6(3x + 1)$ |
| $(x^2 + 5)^2$ | $x^2 + 5$ | $4x(x^2 + 5)$ |
| $\sin^2 x$ | $\sin x$ | $2\sin x\cos x$ |
| $(\ln x)^2$ | $\ln x$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |

La troisième ligne est détaillée sur la page [dérivée de sin²x](/derivatives/sin-squared-x).

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : un polynôme.** Dérivons $f(x) = 4x^2 - 3x + 8$ :

$$f'(x) = 8x - 3$$

**Exemple 2 : une tangente.** Cherchons la tangente à $y = x^2$ en $x = 3$. Le point est $(3, 9)$ et la pente vaut $2(3) = 6$ :

$$y - 9 = 6(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = 6x - 9$$

**Exemple 3 : où la pente vaut-elle 5 ?** On résout $2x = 5$, ce qui donne $x = \frac{5}{2}$. Le point de la parabole est $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right)$.

**Exemple 4 : dérivée seconde.** $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, donc $\frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2$. Une dérivée seconde constante et positive signifie que la parabole est tournée vers le haut partout.

## Erreurs fréquentes

1. **Écrire $2x^2$.** L'exposant doit diminuer de un : $2x^1 = 2x$.
2. **Confondre $x^2$ et $2^x$.** Elles se ressemblent, mais $2^x$ est une exponentielle. Sa dérivée est $2^x \ln 2$, voir la [dérivée de 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x).
3. **Oublier $u'$.** $\frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2)$, et non $2(5x - 2)$.
4. **Élever la dérivée au carré.** $\frac{d}{dx}(x^2)$ n'est pas $\left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1$.

Dans l'autre sens, $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$ est traité sur la page [intégrale de x²](/integrals/x-squared). Entraînez-vous davantage avec les [exercices sur la règle de la puissance](/practice-problems/power-rule).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de x² ?

La dérivée de $x^2$ est $2x$. D'après la règle de la puissance, $\frac{d}{dx}x^2 = 2x^{2-1} = 2x$.

### Comment trouver la dérivée de x² avec la définition par une limite ?

On développe $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Quand $h \to 0$, cela tend vers $2x$.

### Quelle est la dérivée de 3x² ?

C'est $6x$. On multiplie la dérivée de $x^2$ par la constante : $3 \cdot 2x = 6x$.

### Quelle est la dérivée de (2x + 1)² ?

Par la règle de dérivation en chaîne, c'est $2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4$. En développant d'abord en $4x^2 + 4x + 1$, on obtient la même réponse.