# Dérivée de xeˣ : formule, étapes et exemples

> La dérivée de xeˣ est eˣ(x + 1). Étapes avec la règle du produit, minimum en x = −1, formule de la dérivée n-ième, courbe et exemples corrigés.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-x-e-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) $$

## En bref

- **Dérivée:** $e^x(x + 1)$
- **Dérivée seconde:** $e^x(x + 2)$
- **Dérivée n-ième:** $e^x(x + n)$
- **Minimum:** $x = -1$, valeur $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Intégrale:** $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$

## À retenir

- La dérivée de $xe^x$ est $e^x + xe^x = e^x(x + 1)$, d'après la règle du produit.
- Chaque dérivation supplémentaire ajoute $1$ dans la parenthèse : la dérivée $n$-ième est $e^x(x + n)$.
- La fonction a un minimum en $x = -1$ et un point d'inflexion en $x = -2$.
- Factoriser par $e^x$ permet d'annuler facilement la dérivée, puisque $e^x$ ne vaut jamais $0$.

La **dérivée de $xe^x$ est $e^x(x + 1)$**. C'est un produit de $x$ et de $e^x$, donc l'outil à utiliser est la [règle du produit](/rules/product-rule).

$$\frac{d}{dx}\,xe^x = e^x + xe^x = e^x(x + 1)$$

## Étape par étape avec la règle du produit

Avec $f = x$ et $g = e^x$, la règle du produit $(fg)' = f'g + fg'$ donne :

1. $f' = 1$.
2. $g' = e^x$, puisque la [dérivée de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) est elle-même.
3. On combine : $1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x$.
4. On factorise par $e^x$ : $e^x(x + 1)$.

La forme factorisée est plus utile. Comme $e^x$ ne s'annule jamais, la dérivée n'est nulle que là où $x + 1 = 0$.

## Courbe de xeˣ et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = xeˣ et de sa dérivée y = eˣ(x + 1)'
caption: 'La fonction atteint son point le plus bas en $x = -1$, là où la dérivée s''annule. À gauche, elle s''aplatit vers $0$ ; à droite, elle monte en flèche.'
x: [-6, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x*exp(x)
    label: y = xeˣ
    domain: [-6, 1.2]
  - expr: (x+1)*exp(x)
    label: y = eˣ(x + 1) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [-6, 0.75]
points:
  - [-1, -0.3679, 'minimum (−1, −1/e)']
  - [-2, -0.2707, 'inflexion (−2, −2/e²)']
```

## Minimum et point d'inflexion

**Minimum.** La dérivée $e^x(x + 1)$ est négative pour $x < -1$ et positive pour $x > -1$. Donc $x = -1$ est un minimum, de valeur

$$(-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

**Point d'inflexion.** La dérivée seconde vaut

$$\frac{d}{dx}\,e^x(x + 1) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$$

Elle change de signe en $x = -2$, donc la courbe passe de concave à convexe en ce point. Le point est $\left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271)$.

## La formule de la dérivée n-ième

Chaque fois qu'on dérive $e^x(x + k)$, on obtient $e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1)$. Donc :

| Dérivée | Résultat |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $e^x(x + 1)$ |
| $f''(x)$ | $e^x(x + 2)$ |
| $f'''(x)$ | $e^x(x + 3)$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $e^x(x + n)$ |

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : version décroissante.** Pour $f(x) = xe^{-x}$, on applique la règle de dérivation en chaîne à $e^{-x}$ (voir [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x)) :

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

Cette fois, le point critique est un maximum en $x = 1$.

**Exemple 2 : une puissance plus grande.** Pour $g(x) = x^2e^x$,

$$g'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(x + 2)$$

Les points critiques sont en $x = 0$ et $x = -2$.

**Exemple 3 : un exposant multiplié.** Pour $h(x) = xe^{3x}$,

$$h'(x) = e^{3x} + 3xe^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$$

**Exemple 4 : une tangente.** En $x = 0$, $xe^x = 0$ et la pente vaut $e^0(0 + 1) = 1$. La tangente est $y = x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Multiplier les deux dérivées.** $1\cdot e^x = e^x$ n'est pas la règle du produit ; cela fait disparaître le terme $xe^x$.
2. **Donner $xe^x$ comme réponse.** La dérivée de $e^x$ est $e^x$, mais le produit avec $x$ demande quand même la règle du produit.
3. **Ne pas factoriser.** Laisser $e^x + xe^x$ est correct, mais factoriser rend la recherche des points critiques bien plus facile.

Dans l'autre sens, $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ par intégration par parties ; voir l'[intégrale de xeˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Vérification : $\frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x$. Entraînez-vous avec les [exercices sur les règles du produit et du quotient](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de xe^x ?

La dérivée de $xe^x$ est $e^x + xe^x$, qui se factorise en $e^x(x + 1)$.

### Quelle est la dérivée seconde de xe^x ?

On dérive $e^x(x + 1)$ avec la règle du produit : $e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$.

### Quelle est la dérivée n-ième de xe^x ?

C'est $e^x(x + n)$. Chaque dérivation ajoute un terme $e^x$ de plus.

### Quelle est la dérivée de xe^(−x) ?

Par la règle du produit, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.