# Dérivée de x ln x : formule, étapes et exemples

> La dérivée de x ln x est ln x + 1. Étapes avec la règle du produit, minimum en x = 1/e, dérivée seconde, courbe et exemples similaires.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-x-ln-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 $$

## En bref

- **Dérivée:** $\ln x + 1$ pour $x > 0$
- **Dérivée seconde:** $\dfrac{1}{x}$
- **Minimum:** $x = \frac{1}{e}$, valeur $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Limite en 0:** $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$
- **Intégrale:** $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

## À retenir

- La dérivée de $x\ln x$ est $\ln x + 1$, obtenue avec la règle du produit.
- Résoudre $\ln x + 1 = 0$ donne un minimum en $x = \frac{1}{e}$, de valeur $-\frac{1}{e}$.
- La dérivée seconde est $\frac{1}{x} > 0$, donc la courbe est convexe sur tout son domaine.
- Lu à l'envers, le résultat montre que $\int(\ln x + 1)\,dx = x\ln x + C$, l'étape clé pour intégrer $\ln x$.

La **dérivée de $x\ln x$ est $\ln x + 1$**. C'est un produit, donc la [règle du produit](/rules/product-rule) fait tout le travail.

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1, \qquad x > 0$$

## Étape par étape avec la règle du produit

La règle du produit dit $(fg)' = f'g + fg'$. Prenons $f = x$ et $g = \ln x$ :

1. $f' = 1$.
2. $g' = \frac{1}{x}$, d'après la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x).
3. On combine : $1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Le $x$ devant se simplifie avec le $\frac{1}{x}$ venant du logarithme, ce qui laisse une réponse nette.

## Courbe de x ln x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = x ln x et de sa dérivée y = ln x + 1'
caption: 'La fonction descend jusqu''à un minimum de $-\frac{1}{e}$ en $x = \frac{1}{e}$, exactement là où sa dérivée s''annule.'
x: [-0.3, 3]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3]
  - expr: ln(x) + 1
    label: y = ln x + 1 (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.15, 3]
points:
  - [0.3679, -0.3679, 'minimum (1/e, −1/e)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Trouver le minimum

On annule la dérivée :

$$\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Pour $x < \frac{1}{e}$, la dérivée est négative, et pour $x > \frac{1}{e}$, elle est positive : c'est donc un minimum. Sa valeur est

$$\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = \frac{1}{e}\cdot(-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

La dérivée seconde le confirme : $\frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}$, positive pour tout $x > 0$, donc la courbe est convexe partout.

## Ce qui se passe près de x = 0

La courbe semble partir de l'origine, même si $x\ln x$ n'est pas définie en $0$. C'est parce que $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. On l'écrit $\frac{\ln x}{1/x}$ et on applique la [règle de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) :

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+}(-x) = 0$$

Pendant ce temps, la pente $\ln x + 1$ tend vers $-\infty$, donc la courbe quitte l'origine presque verticalement.

## Exemples associés

**Exemple 1.** $\frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. Cela montre que $x\ln x - x$ est une primitive de $\ln x$ ; voir l'[intégrale de ln x](/integrals/ln-x).

**Exemple 2.** $\frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

**Exemple 3.** $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, d'après la [règle du quotient](/rules/quotient-rule). Son maximum est en $x = e$.

**Exemple 4.** $\frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1$, puisque $\frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}$ aussi.

## Erreurs fréquentes

1. **Multiplier les dérivées.** $1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ n'est pas la règle du produit. Il faut les deux termes.
2. **Oublier le domaine de définition.** $x\ln x$ n'existe que pour $x > 0$, donc la recherche du minimum se fait uniquement là.
3. **Confondre avec $x^x$.** $\frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1)$. Le facteur $\ln x + 1$ apparaît parce que $x^x = e^{x\ln x}$ ; voir la [dérivée de xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

Dans l'autre sens, l'[intégrale de x ln x](/integrals/x-ln-x) se calcule par intégration par parties. Entraînez-vous davantage avec les [exercices sur les règles du produit et du quotient](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de x ln x ?

La dérivée de $x\ln x$ est $\ln x + 1$.

### Quelle est la dérivée seconde de x ln x ?

On dérive $\ln x + 1$ et on obtient $\frac{1}{x}$.

### Où se trouve le minimum de x ln x ?

En $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, là où $\ln x + 1 = 0$. La valeur minimale est $\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$.

### Quelle est la dérivée de x ln x − x ?

C'est $(\ln x + 1) - 1 = \ln x$. C'est pourquoi $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$.