# Dérivée de xˣ : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de xˣ est xˣ(ln x + 1). Deux méthodes, la dérivation logarithmique et l'écriture e^(x ln x), avec une courbe et des exemples.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-x-puissance-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) $$

## En bref

- **Dérivée:** $x^x(\ln x + 1)$ pour $x > 0$
- **Réécriture clé:** $x^x = e^{x\ln x}$
- **Méthode:** dérivation logarithmique
- **Minimum:** $x = \frac{1}{e}$, valeur $e^{-1/e} \approx 0.692$
- **Forme générale:** $\dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)$

## À retenir

- La dérivée de $x^x$ est $x^x(\ln x + 1)$.
- Ni la règle de la puissance ni celle de l'exponentielle ne fonctionnent, car la base et l'exposant varient tous les deux.
- Prenez le $\ln$ des deux membres (dérivation logarithmique), ou écrivez $x^x = e^{x\ln x}$ et utilisez la règle de dérivation en chaîne.
- La courbe a un minimum en $x = \frac{1}{e}$, là où $\ln x + 1 = 0$.

La **dérivée de $x^x$ est $x^x(\ln x + 1)$**. C'est l'exemple classique d'une fonction qui demande la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation).

$$\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1), \qquad x > 0$$

## Pourquoi les règles habituelles échouent

| Fonction | Base | Exposant | Règle | Dérivée |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^3$ | variable | constant | règle de la puissance | $3x^2$ |
| $3^x$ | constante | variable | règle de l'exponentielle | $3^x\ln 3$ |
| $x^x$ | variable | variable | aucune des deux seule | $x^x(\ln x + 1)$ |

Appliquer la règle de la puissance donne $x\cdot x^{x-1} = x^x$, et appliquer la règle de l'exponentielle donne $x^x\ln x$. Les deux sont fausses. Fait curieux, la bonne réponse est leur somme.

## Méthode 1 : la dérivation logarithmique

Posons $y = x^x$. On prend le logarithme népérien des deux membres pour faire descendre l'exposant :

$$\ln y = x\ln x$$

On dérive les deux membres. Le membre de gauche demande la [dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation), et celui de droite la règle du produit (c'est la [dérivée de x ln x](/derivatives/x-ln-x)) :

$$\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

On multiplie par $y = x^x$ :

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

## Méthode 2 : réécrire en base e

Comme $x = e^{\ln x}$, on a $x^x = e^{x\ln x}$. On utilise alors la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) avec la fonction extérieure $e^u$ :

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x(\ln x + 1)$$

Les deux méthodes reposent en fait sur la même idée. Utilisez celle qui vous semble la plus naturelle.

## Courbe de xˣ et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = xˣ et de sa dérivée'
caption: 'La courbe descend jusqu''à sa valeur minimale d''environ $0.692$ en $x = \frac{1}{e}$, puis croît très vite. En $x = 1$, la valeur et la pente valent toutes deux $1$.'
x: [-0.2, 2.2]
y: [-1.5, 6]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
    domain: [0.01, 2.1]
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: y = xˣ(ln x + 1) (dérivée)
    dashed: true
    domain: [0.08, 1.75]
points:
  - [0.3679, 0.6922, 'minimum (1/e ; 0,692)']
  - [1, 1, '(1, 1), pente 1']
```

Comme $x^x > 0$, le signe de la dérivée ne dépend que de $\ln x + 1$. Il est négatif pour $x < \frac{1}{e}$ et positif ensuite, donc le minimum est en $x = \frac{1}{e}$. Sa valeur est $\left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : la pente en x = 2.** $\frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77$.

**Exemple 2 : x puissance sin x.** Posons $y = x^{\sin x}$. Alors $\ln y = \sin x\ln x$, et

$$\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Exemple 3 : x puissance 1/x.** Posons $y = x^{1/x}$. Alors $\ln y = \frac{\ln x}{x}$, et la règle du quotient donne

$$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{1/x}\cdot\frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Elle s'annule en $x = e$, donc $x^{1/x}$ est maximale en $x = e$, avec la valeur $e^{1/e} \approx 1.445$.

**Exemple 4 : x puissance x au carré.** Pour $y = x^{x^2}$, $\ln y = x^2\ln x$, donc $y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$.

## Erreurs fréquentes

1. **Règle de la puissance :** $x\cdot x^{x-1} = x^x$. Faux, car l'exposant n'est pas constant.
2. **Règle de l'exponentielle :** $x^x\ln x$. Faux, car la base n'est pas constante.
3. **Oublier de multiplier par $y$ à la fin** de la dérivation logarithmique, et ne garder que $\ln x + 1$.

Pour en savoir plus sur cette méthode, voir les [exercices de dérivation implicite](/practice-problems/implicit-differentiation) et la [dérivée de 2ˣ et de aˣ](/derivatives/2-to-the-x).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de x^x ?

La dérivée de $x^x$ est $x^x(\ln x + 1)$, pour $x > 0$.

### Pourquoi ne peut-on pas utiliser la règle de la puissance pour x^x ?

La règle de la puissance exige un exposant constant, et la règle de l'exponentielle une base constante. Dans $x^x$, les deux varient, il faut donc utiliser la dérivation logarithmique ou écrire $e^{x\ln x}$.

### Quelle est la dérivée de x^(sin x) ?

Par dérivation logarithmique : $x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

### Où se trouve le minimum de x^x ?

En $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, là où la dérivée s'annule. La valeur minimale est $\left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.