# Dérivée de x : formule, démonstration et exemples

> La dérivée de x vaut 1. Démonstration par la limite et la règle de la puissance, puis dérivées de 5x, ax + b et de x par rapport à une autre variable.

Source : https://practicecalculus.com/fr/derivees/derivee-de-x
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x = 1 $$

## En bref

- **Dérivée:** $1$ pour tout réel $x$
- **Multiple de x:** $\dfrac{d}{dx}(ax) = a$
- **Fonction affine:** $\dfrac{d}{dx}(ax + b) = a$
- **Avec la règle de la puissance:** $x = x^1$, donc la dérivée vaut $1 \cdot x^0 = 1$
- **Version intégrale:** $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$

## À retenir

- La dérivée de $x$ est $1$, car la droite $y = x$ a une pente de $1$ partout.
- Tout multiple fonctionne de la même façon : $\frac{d}{dx}(ax) = a$, donc $\frac{d}{dx}(5x) = 5$.
- Une constante ajoutée ne change pas la pente : $\frac{d}{dx}(ax + b) = a$.
- Par rapport à une autre variable, $x$ peut être une constante : $\frac{d}{dt}\,x = 0$ si $x$ ne dépend pas de $t$.

La **dérivée de $x$ vaut $1$**. La fonction $y = x$ est une droite de pente $1$, et la dérivée d'une droite est tout simplement sa pente.

$$\frac{d}{dx}\,x = 1$$

## Courbe de x et de sa dérivée

```graph
title: 'Courbe de y = x et de sa dérivée y = 1'
caption: 'La droite $y = x$ a la même pente partout, donc sa dérivée est la droite horizontale $y = 1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: 1
    label: y = 1 (dérivée)
    dashed: true
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
  - [2, 1, 'pente 1']
```

Comme la pente ne change jamais, la dérivée est constante. Prenez deux points quelconques de la droite : la variation verticale est toujours égale à la variation horizontale.

## Démonstration par la définition avec une limite

La [définition de la dérivée par une limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) s'écrit

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Avec $f(x) = x$ :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$$

Le $h$ se simplifie avant même le passage à la limite, il n'y a donc aucune forme indéterminée à lever.

## Démonstration par la règle de la puissance

Écrivez $x$ sous la forme $x^1$. La [règle de la puissance](/rules/power-rule) dit de faire descendre l'exposant puis de le diminuer de un :

$$\frac{d}{dx}\,x^1 = 1 \cdot x^0 = 1$$

On utilise $x^0 = 1$, ce qui est valable pour tout $x \ne 0$, et la démonstration par la limite couvre aussi le cas $x = 0$.

## Multiples et fonctions affines

Avec la [règle du produit par une constante](/rules/constant-multiple-rule) et la [dérivée d'une constante](/rules/constant-rule), toute fonction affine se dérive facilement :

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $5x$ | $5$ |
| $-x$ | $-1$ |
| $\frac{x}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| $3x - 7$ | $3$ |
| $\pi x + e$ | $\pi$ |

La dérivée d'une droite $y = mx + b$ vaut toujours $m$, sa pente. L'ordonnée à l'origine $b$ ne fait que décaler la droite vers le haut ou vers le bas, elle ne change donc pas son inclinaison. Consultez la [dérivée d'une constante](/derivatives/constant) pour comprendre pourquoi le $b$ disparaît.

## Exemples corrigés

**Exemple 1 : une somme.** Dérivons $f(x) = x^2 + 4x - 9$ :

$$f'(x) = 2x + 4$$

Le terme $4x$ donne $4$ et le $-9$ donne $0$. Le terme $x^2$ utilise la [dérivée de x²](/derivatives/x-squared).

**Exemple 2 : une vérification avec le produit.** Écrivons $x^2 = x \cdot x$ et utilisons la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$\frac{d}{dx}(x \cdot x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$

On retrouve le résultat de la règle de la puissance, ce qui est une bonne vérification.

**Exemple 3 : une autre variable.** Dans $\frac{d}{dt}(xt)$, où $x$ ne dépend pas de $t$, on traite $x$ comme une constante : la réponse est $x$.

## Erreurs fréquentes

1. **Répondre $0$.** Seules les constantes ont une dérivée égale à $0$. La fonction $x$ varie, donc sa dérivée vaut $1$.
2. **Donner $x$ comme réponse.** La dérivée de $x$ n'est pas $x$. C'est vrai pour $e^x$, pas pour $x$.
3. **Garder le terme constant.** $\frac{d}{dx}(3x + 7) = 3$, et non $3 + 7$ ou $10$.

La question inverse, $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$, est traitée sur la page [intégrale de x](/integrals/x). Pour vous entraîner, essayez les [exercices sur la règle de la puissance](/practice-problems/power-rule).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de x ?

La dérivée de $x$ par rapport à $x$ vaut $1$. La courbe $y = x$ est une droite qui monte d'une unité pour chaque unité vers la droite.

### Quelle est la dérivée de 2x ?

C'est $2$. D'après la règle du produit par une constante, $\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}x = 2 \cdot 1 = 2$.

### Pourquoi la dérivée de x ne vaut-elle pas 0 ?

Une dérivée égale à $0$ signifie que la fonction est plate. La droite $y = x$ n'est pas plate : elle monte avec une pente de $1$. Seules les constantes, comme $7$ ou $\pi$, ont une dérivée égale à $0$.

### Quelle est la dérivée de x par rapport à y ?

Si $x$ et $y$ sont indépendants, $\frac{d}{dy}\,x = 0$. Si $x$ dépend de $y$, la réponse est $\frac{dx}{dy}$, qui vaut $\frac{1}{dy/dx}$ lorsque $dy/dx \ne 0$.