# Théorème des accroissements finis : exercices corrigés > 12 exercices corrigés sur le théorème des accroissements finis : trouver c, théorème de Rolle, vérifier les hypothèses, majorations et nombre de racines. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-accroissements-finis Mis à jour : 2026-11-06 $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 5 - **Prérequis:** Les dérivées et le sens de la [continuité](/practice-problems/continuity) - **Idée principale:** Quelque part entre a et b, la pente de la tangente est égale à la pente moyenne - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur l'approximation affine et les accroissements finis](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) ## À retenir - Vérifiez d'abord les deux hypothèses : $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$. - Pour trouver $c$, calculez la pente moyenne, posez $f'(c)$ égal à cette pente et ne gardez que les solutions strictement comprises entre $a$ et $b$. - Le théorème des accroissements finis transforme une information sur $f'$ en information sur $f$. C'est ainsi qu'on majore des valeurs et qu'on montre qu'une équation n'a qu'une seule racine. Ces **exercices sur le théorème des accroissements finis** commencent par la recherche de la valeur de $c$, puis abordent le théorème de Rolle, les cas où le théorème ne s'applique pas, et les deux usages classiques : majorer une fonction et montrer qu'une équation a exactement une racine. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes. Le théorème : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors pour un certain $c$ dans $(a, b)$, $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Consultez les pages sur le [théorème des accroissements finis](/theorems/mean-value-theorem) et le [théorème de Rolle](/theorems/rolles-theorem) pour la démonstration, ou le [guide du théorème des accroissements finis](/blog/mean-value-theorem) pour d'autres exemples. ## Exercices **Trouver c** 1. $f(x) = x^2$ sur $[1, 3]$ 2. $f(x) = x^3$ sur $[0, 3]$ 3. $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 4]$ 4. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $[1, 4]$ 5. $f(x) = \ln x$ sur $[1, e]$ 6. $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2, 2]$ **Théorème de Rolle** 7. Vérifiez le théorème de Rolle pour $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $[0, 4]$ et trouvez $c$. **Le théorème s'applique-t-il ?** 8. Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $[-1, 1]$ ? 9. Le théorème des accroissements finis s'applique-t-il à $f(x) = |x|$ sur $[-1, 2]$ ? Existe-t-il malgré tout un $c$ qui convient ? **Utiliser le théorème** 10. Une voiture parcourt $150$ miles en $2$ heures. Montrez qu'à un certain instant sa vitesse était exactement de $75$ mph. 11. On suppose $f(1) = 3$ et $f'(x) \le 5$ pour tout $x$. Quelle est la plus grande valeur possible de $f(4)$ ? 12. Montrez que $x^3 + 2x - 1 = 0$ admet exactement une solution réelle. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $c = 2$ | | 2 | $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ | | 3 | $c = 1$ | | 4 | $c = 2$ | | 5 | $c = e - 1 \approx 1.718$ | | 6 | $c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$ | | 7 | $f(0) = f(4) = 1$, et $c = 2$ | | 8 | Non, $f$ n'est pas continue en $x = 0$ | | 9 | Non, $f$ n'est pas dérivable en $0$, et aucun $c$ ne convient | | 10 | D'après le théorème, la vitesse est égale à la vitesse moyenne de $75$ mph à un certain instant | | 11 | $18$ | | 12 | Le théorème des valeurs intermédiaires donne au moins une racine, et le théorème de Rolle exclut une deuxième | ## Solutions détaillées **1.** $f$ est un polynôme, donc les hypothèses sont vérifiées. La pente moyenne vaut $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$, et $f'(c) = 2c$ : $$2c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **2.** La pente moyenne vaut $\frac{27 - 0}{3} = 9$, et $f'(c) = 3c^2$ : $$3c^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad c = \pm\sqrt{3}$$ Seul $c = \sqrt{3}$ appartient à $(0, 3)$. **3.** $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, 4]$ et dérivable sur $(0, 4)$. Cela suffit, même si la dérivée n'existe pas en $x = 0$. La pente moyenne vaut $\frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$ : $$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$ **4.** $\frac{1}{x}$ ne pose aucun problème sur $[1, 4]$ car $0$ n'est pas dans l'intervalle. La pente moyenne vaut $\frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}$ : $$-\frac{1}{c^2} = -\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad c^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **5.** La pente moyenne vaut $\frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$, et $f'(c) = \frac{1}{c}$ : $$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1} \quad\Rightarrow\quad c = e - 1 \approx 1.718$$ Cette valeur est bien comprise entre $1$ et $e \approx 2.718$. **6.** $f(2) = 8 - 6 = 2$ et $f(-2) = -8 + 6 = -2$, donc la pente moyenne vaut $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$ : $$3c^2 - 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$ Les deux valeurs sont dans $(-2, 2)$, donc les deux conviennent. Le théorème garantit au moins un $c$, pas exactement un. **7.** $f$ est un polynôme, et $f(0) = 1$ et $f(4) = 16 - 16 + 1 = 1$ sont égaux, donc le théorème de Rolle s'applique. Résolvez $f'(c) = 0$ : $$2c - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **8.** Non. $\frac{1}{x}$ n'est pas définie en $x = 0$, qui est dans $[-1, 1]$, donc $f$ n'est pas continue sur l'intervalle. D'ailleurs, la pente moyenne vaut $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, mais $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ est toujours négative, donc aucun $c$ ne convient. **9.** $|x|$ est continue sur $[-1, 2]$ mais n'est pas dérivable en $x = 0$, donc le théorème ne s'applique pas. La pente moyenne vaut $\frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$, mais $f'(x)$ ne prend que les valeurs $-1$ ou $1$. Aucun $c$ ne donne $\frac{1}{3}$, ce qui montre l'importance de l'hypothèse de dérivabilité. **10.** Soit $s(t)$ la distance parcourue après $t$ heures. La position est continue et dérivable, et $s'(t)$ est la vitesse. D'après le théorème des accroissements finis, il existe un instant $c$ dans $(0, 2)$ tel que $$s'(c) = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \frac{150}{2} = 75 \text{ mph}$$ **11.** Appliquez le théorème sur $[1, 4]$. Pour un certain $c$ dans $(1, 4)$ : $$f(4) - f(1) = f'(c)(4 - 1) \le 5\cdot 3 = 15$$ Donc $f(4) \le 3 + 15 = 18$. La valeur $18$ est atteinte quand $f'(x) = 5$ partout, par exemple pour $f(x) = 5x - 2$. **12.** **Au moins une racine.** Soit $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Elle est continue, avec $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 2 > 0$. D'après le [théorème des valeurs intermédiaires](/theorems/intermediate-value-theorem), il existe une racine dans $(0, 1)$. **Au plus une racine.** Supposons qu'il y ait deux racines $a < b$. Alors $f(a) = f(b) = 0$, et le théorème de Rolle donnerait un $c$ tel que $f'(c) = 0$. Or $f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2$ ne vaut jamais $0$. Il ne peut donc pas y avoir deux racines, et il y en a exactement une. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier les hypothèses.** Les exercices 8 et 9 montrent que sans continuité ou dérivabilité, la conclusion peut être fausse. - **Garder un $c$ hors de l'intervalle.** Dans l'exercice 2, $c = -\sqrt{3}$ est solution de l'équation mais n'est pas dans $(0, 3)$. - **S'arrêter à un seul $c$.** Dans l'exercice 6, il y a deux valeurs valables. Donnez toutes les solutions dans l'intervalle. - **Confondre taux moyen et taux instantané.** Le membre de gauche du théorème est une dérivée en un point. Le membre de droite est la pente de la sécante sur tout l'intervalle. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la [leçon sur l'approximation affine et les accroissements finis](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). Pour revoir l'hypothèse de continuité, utilisez les [exercices sur la continuité](/practice-problems/continuity), et pour une idée voisine avec les intégrales, consultez le [théorème de la moyenne pour les intégrales](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals). ## Questions fréquentes ### Que dit le théorème des accroissements finis ? Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $(a, b)$, alors il existe au moins un $c$ dans $(a, b)$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Une tangente est parallèle à la sécante passant par les extrémités. ### Comment trouver c dans le théorème des accroissements finis ? Calculez la pente moyenne $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, posez $f'(c)$ égal à cette valeur et résolvez en $c$. Ne gardez que les valeurs strictement comprises entre $a$ et $b$. Il peut y en avoir plusieurs, comme dans l'exercice 6. ### Quelle est la différence entre le théorème de Rolle et celui des accroissements finis ? Le théorème de Rolle est le cas particulier où $f(a) = f(b)$. La pente moyenne vaut alors $0$, donc il existe un $c$ tel que $f'(c) = 0$, une tangente horizontale. Le théorème des accroissements finis est le théorème de Rolle incliné.