# Aire entre deux courbes : exercices corrigés avec réponses

> 10 exercices corrigés sur l'aire entre deux courbes : points d'intersection, courbe du haut moins courbe du bas, courbes qui se croisent et intégration en y.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-aire-entre-deux-courbes
Mis à jour : 2026-11-06

$$ A = \int_a^b \big(\text{haut}(x) - \text{bas}(x)\big)\,dx $$

## En bref

- **Exercices:** 10, avec réponses et solutions détaillées
- **Niveau:** Calculus 1, Calculus 2 et AP Calculus, Unit 8
- **Prérequis:** Les [intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals) et la résolution d'équations
- **Idée clé:** Intégrer la courbe du haut moins la courbe du bas entre leurs points d'intersection
- **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur l'aire entre deux courbes](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves)

## À retenir

- Égalez les deux courbes pour trouver leurs points d'intersection. Ces valeurs de $x$ sont les bornes.
- Testez un point entre les bornes pour savoir quelle courbe est au-dessus. Si elles se croisent dans l'intervalle, coupez l'intégrale à cet endroit.
- Quand le domaine est délimité à gauche et à droite, intégrez en $y$ : courbe de droite moins courbe de gauche.

Ces **exercices sur l'aire entre deux courbes** commencent par des domaines simples puis passent aux courbes qui se croisent et à l'intégration par rapport à $y$. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

La formule :

$$A = \int_a^b \big(\text{haut}(x) - \text{bas}(x)\big)\,dx$$

Trouvez les points d'intersection, déterminez quelle courbe est au-dessus et intégrez la différence. Pour une explication plus longue avec des figures, lisez le [guide de l'aire entre deux courbes](/blog/area-between-curves).

```graph
title: 'Domaine entre y = x et y = x²'
caption: 'Exercice 1 : la droite est au-dessus entre x = 0 et x = 1.'
x: [-0.5, 1.5]
y: [-0.5, 1.5]
functions:
  - expr: 'x'
    label: 'y = x'
  - expr: 'x^2'
    label: 'y = x²'
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Exercices

**Deux courbes, un domaine**

1. $y = x$ et $y = x^2$
2. $y = 4 - x^2$ et $y = 0$
3. $y = 2x$ et $y = x^2$
4. $y = x^2 - 4$ et $y = 2 - x$
5. $y = \sqrt{x}$ et $y = x^2$

**Bornes données**

6. $y = \cos x$ et $y = \sin x$ de $x = 0$ à $x = \frac{\pi}{4}$
7. $y = e^x$ et $y = 1$ de $x = 0$ à $x = 1$
8. $y = x$ et $y = \frac{1}{x}$ de $x = 1$ à $x = 2$

**Mises en équation plus difficiles**

9. Le domaine délimité par $x = y^2$ et $x = y + 2$
10. L'aire totale entre $y = x^3$ et $y = x$ sur $[-1, 1]$

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $\frac{1}{6}$ |
| 2 | $\frac{32}{3}$ |
| 3 | $\frac{4}{3}$ |
| 4 | $\frac{125}{6}$ |
| 5 | $\frac{1}{3}$ |
| 6 | $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ |
| 7 | $e - 2 \approx 0.718$ |
| 8 | $\frac{3}{2} - \ln 2 \approx 0.807$ |
| 9 | $\frac{9}{2}$ |
| 10 | $\frac{1}{2}$ |

## Solutions détaillées

**1.** Posez $x = x^2$ : $x = 0$ ou $x = 1$. En $x = \frac{1}{2}$, la droite donne $0.5$ et la parabole $0.25$, donc la droite est au-dessus :

$$\int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

**2.** La parabole coupe l'axe des $x$ en $x = \pm 2$ :

$$\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$$

**3.** Posez $2x = x^2$ : $x = 0$ ou $x = 2$. En $x = 1$, la droite est au-dessus :

$$\int_0^2(2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

**4.** Posez $x^2 - 4 = 2 - x$ : $x^2 + x - 6 = 0$, donc $x = -3$ ou $x = 2$. En $x = 0$, la droite donne $2$ et la parabole $-4$, donc la droite est au-dessus :

$$\int_{-3}^{2}(6 - x - x^2)\,dx = \left[6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{125}{6}$$

**5.** Les courbes se coupent en $x = 0$ et $x = 1$, et $\sqrt{x}$ est au-dessus entre les deux :

$$\int_0^1\left(x^{1/2} - x^2\right)dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

**6.** Sur $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$, $\cos x \geq \sin x$ :

$$\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$$

**7.** Sur $[0, 1]$, $e^x \geq 1$ :

$$\int_0^1(e^x - 1)\,dx = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$$

**8.** Pour $x > 1$, $x > \frac{1}{x}$ :

$$\int_1^2\left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$

**9.** Les deux courbes donnent $x$ en fonction de $y$, donc intégrez en $y$. Posez $y^2 = y + 2$ : $y = -1$ ou $y = 2$. En $y = 0$, la droite donne $x = 2$ et la parabole $x = 0$, donc la droite est à droite :

$$\int_{-1}^{2}(y + 2 - y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}$$

**10.** Les courbes se coupent en $x = -1, 0, 1$. Sur $[0, 1]$, $x \geq x^3$. Sur $[-1, 0]$, $x^3 \geq x$. Par symétrie, les deux morceaux sont égaux :

$$2\int_0^1(x - x^3)\,dx = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Intégrer $x - x^3$ sur $[-1, 1]$ d'un seul coup donne $0$, ce qui est faux.

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Bas moins haut.** Un résultat négatif vous trahit. Testez un point pour trouver la courbe du haut.
- **Ne pas couper au point de croisement.** Dans l'exercice 10, une seule intégrale fait se compenser les deux domaines et donne $0$.
- **Prendre les mauvaises bornes.** Les bornes viennent des points d'intersection des courbes, pas des points où une seule courbe coupe l'axe des $x$.
- **Mélanger $x$ et $y$.** Dans l'exercice 9, l'intégrande et les bornes doivent tous deux être en $y$.

## Continuer à s'entraîner

Pour des domaines en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la [leçon sur l'aire entre deux courbes](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) et la [série d'exercices sur les applications](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/applications-practice). Ensuite, faites tourner ces domaines autour d'un axe avec les [exercices sur les volumes de révolution](/practice-problems/volumes-of-revolution).

## Questions fréquentes

### Comment savoir quelle courbe est au-dessus ?

Choisissez un $x$ quelconque entre les bornes et remplacez-le dans les deux fonctions. La plus grande valeur indique la courbe du haut sur tout ce morceau, tant que les courbes ne s'y croisent pas.

### Une aire entre deux courbes peut-elle être négative ?

Non. Une aire est toujours positive. Si vous obtenez un nombre négatif, vous avez soustrait dans le mauvais ordre. Si les courbes se croisent, coupez l'intégrale pour que chaque morceau soit haut moins bas.

### Quand faut-il intégrer par rapport à y ?

Quand les courbes s'écrivent plus facilement sous la forme $x = f(y)$, ou quand intégrer en $x$ demanderait plusieurs morceaux. L'exercice 9 se fait avec une seule intégrale en $y$ mais deux en $x$.