# Approximation affine : exercices corrigés avec réponses

> 12 exercices corrigés sur l'approximation affine : linéarisation, estimation de racines et de logarithmes, différentielles et erreurs.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-approximation-affine
Mis à jour : 2026-11-06

$$ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes
- **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 4
- **Prérequis:** Les dérivées et les [tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines)
- **Idée principale:** Près de x = a, une fonction est proche de sa tangente, donc on utilise la droite pour estimer
- **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur l'approximation affine](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt)

## À retenir

- Choisissez un point $a$ proche de la valeur cherchée, où $f(a)$ et $f'(a)$ se calculent facilement de façon exacte.
- Si $f'' < 0$ près de $a$, la tangente est au-dessus de la courbe et l'estimation est trop grande. Si $f'' > 0$, elle est trop petite.
- Les différentielles reposent sur la même idée : $dy = f'(x)\,dx$ estime la variation $\Delta y$.

Ces **exercices sur l'approximation affine** commencent par la construction d'une linéarisation, l'utilisent pour estimer des racines, des sinus, des logarithmes et des puissances, puis passent aux différentielles, aux erreurs de mesure et aux estimations par excès ou par défaut. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

L'approximation affine de $f$ en $x = a$ est sa tangente :

$$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$

Pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx L(x)$. Pour le raisonnement et d'autres exemples, lisez le [guide de l'approximation affine](/blog/linear-approximation).

## Exercices

**Linéarisation**

1. Déterminez l'approximation affine de $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$.
2. Utilisez l'exercice 1 pour estimer $\sqrt{4.1}$.
3. Estimez $\sqrt[3]{8.2}$.

**Estimer des valeurs**

4. Estimez $\sin(0.1)$.
5. Estimez $\ln(1.05)$.
6. Estimez $e^{0.02}$.
7. Estimez $(1.01)^{10}$.
8. Estimez $\cos 62^\circ$.

**Différentielles et erreur**

9. Pour $y = x^3$, calculez $dy$ et $\Delta y$ lorsque $x = 2$ et $dx = 0.1$.
10. Le rayon d'une boule est mesuré à $10$ cm avec une erreur possible de $0.05$ cm. Estimez l'erreur possible sur le volume calculé.

**Exploiter le résultat**

11. L'estimation de l'exercice 2 est-elle trop grande ou trop petite ? Justifiez.
12. Une fonction vérifie $f(3) = 5$ et $f'(3) = -2$. Estimez $f(3.2)$.

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $L(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$ |
| 2 | $2.025$ (valeur exacte $2.02485\ldots$) |
| 3 | $2 + \dfrac{1}{60} \approx 2.0167$ (valeur exacte $2.01653\ldots$) |
| 4 | $0.1$ (valeur exacte $0.09983\ldots$) |
| 5 | $0.05$ (valeur exacte $0.04879\ldots$) |
| 6 | $1.02$ (valeur exacte $1.02020\ldots$) |
| 7 | $1.1$ (valeur exacte $1.10462\ldots$) |
| 8 | $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.4698$ (valeur exacte $0.46947\ldots$) |
| 9 | $dy = 1.2$, $\Delta y = 1.261$ |
| 10 | Environ $20\pi \approx 62.8$ cm³ (une erreur relative de $1.5\%$) |
| 11 | Trop grande, car $\sqrt{x}$ est concave |
| 12 | $4.6$ |

## Solutions détaillées

**1.** $f(4) = 2$ et $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, donc $f'(4) = \frac{1}{4}$ :

$$L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$$

**2.** Remplacez $x = 4.1$ dans l'équation de la droite :

$$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$$

**3.** Utilisez $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $a = 8$, puisque $\sqrt[3]{8} = 2$. La dérivée est $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$, donc $f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ :

$$\sqrt[3]{8.2} \approx 2 + \frac{1}{12}(0.2) = 2 + \frac{1}{60} \approx 2.0167$$

**4.** Utilisez $f(x) = \sin x$ en $a = 0$. $f(0) = 0$ et $f'(0) = \cos 0 = 1$, donc $L(x) = x$ :

$$\sin(0.1) \approx 0.1$$

C'est l'approximation des petits angles $\sin x \approx x$, qui ne fonctionne qu'en radians.

**5.** Utilisez $f(x) = \ln x$ en $a = 1$. $f(1) = 0$ et $f'(1) = 1$, donc $L(x) = x - 1$ :

$$\ln(1.05) \approx 0.05$$

**6.** Utilisez $f(x) = e^x$ en $a = 0$. $f(0) = 1$ et $f'(0) = 1$, donc $L(x) = 1 + x$ :

$$e^{0.02} \approx 1.02$$

**7.** Utilisez $f(x) = x^{10}$ en $a = 1$. $f(1) = 1$ et $f'(x) = 10x^9$, donc $f'(1) = 10$ :

$$(1.01)^{10} \approx 1 + 10(0.01) = 1.1$$

**8.** Travaillez en radians. Prenez $a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$, où $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et la pente vaut $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Le pas est $2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$ :

$$\cos 62^\circ \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.5 - 0.0302 = 0.4698$$

**9.** La différentielle est $dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx$ :

$$dy = 3(2)^2(0.1) = 1.2$$

La variation réelle est $\Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261$. La différentielle en donne une estimation proche et plus simple.

**10.** Le volume est $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, donc $dV = 4\pi r^2\,dr$ :

$$dV = 4\pi(10)^2(0.05) = 20\pi \approx 62.8 \text{ cm}^3$$

Le volume vaut $\frac{4000\pi}{3} \approx 4189$ cm³, donc l'erreur relative est $\frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015$, soit $1.5\%$. C'est trois fois l'erreur de $0.5\%$ sur le rayon, car le rayon est élevé au cube.

**11.** Pour $f(x) = \sqrt{x}$, $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$, donc la courbe est concave. Une courbe concave est en dessous de ses tangentes, donc l'estimation $2.025$ est un peu trop grande. La valeur exacte $2.02485$ le confirme.

**12.** Utilisez l'approximation affine en $a = 3$ :

$$f(3.2) \approx f(3) + f'(3)(0.2) = 5 - 2(0.2) = 4.6$$

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Choisir un $a$ trop éloigné.** Pour estimer $\sqrt{4.1}$, prenez $a = 4$, et non $a = 1$. Plus $a$ est proche, meilleure est l'estimation.
- **Travailler en degrés.** Dans l'exercice 8, le pas doit être en radians, $\frac{\pi}{90}$, et non $2$.
- **Confondre $dy$ et $\Delta y$.** $dy$ est la variation le long de la tangente, et $\Delta y$ est la variation réelle le long de la courbe.
- **Mal calculer $x - a$.** Dans l'exercice 3, le pas est $8.2 - 8 = 0.2$, et non $8.2$.

## Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres et une correction immédiate, essayez la [leçon sur l'approximation affine et le théorème des accroissements finis](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). Le [théorème des accroissements finis](/practice-problems/mean-value-theorem) est la version exacte de la même idée : la pente moyenne sur un intervalle est égale à la pente de la tangente en un point de cet intervalle. Pour plus de précision qu'une droite, l'étape suivante est celle des [polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials).

## Questions fréquentes

### Quelle est la formule de l'approximation affine ?

L'approximation affine de $f$ en $x = a$ est $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, c'est-à-dire la tangente en $a$. Pour $x$ proche de $a$, $f(x) \approx L(x)$.

### Comment choisir a pour une approximation affine ?

Choisissez une valeur proche du nombre à estimer où la fonction se calcule facilement de façon exacte. Pour estimer $\sqrt{4.1}$, prenez $a = 4$. Pour estimer $\sqrt[3]{8.2}$, prenez $a = 8$. Pour estimer $\sin(0.1)$, prenez $a = 0$.

### Comment savoir si une approximation affine surestime la valeur ?

Regardez la convexité. Si la courbe est concave près de $a$ ($f'' < 0$), la tangente est au-dessus et l'estimation est trop grande. Si elle est convexe ($f'' > 0$), l'estimation est trop petite.