# Calcul de limites : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés sur le calcul de limites : substitution directe, forme 0/0 et factorisation, quantité conjuguée, limites trigonométriques et unilatérales. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-calcul-de-limites Mis à jour : 2026-11-06 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{ quand } f \text{ est continue en } a $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 1 - **Prérequis:** La factorisation, les fractions et les [opérations sur les limites](/rules/limit-laws) - **Idée clé:** Remplacer d'abord. Si on obtient 0/0, simplifier puis remplacer à nouveau - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçons sur les limites](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution) ## À retenir - Essayez toujours la substitution directe en premier. Si vous obtenez un nombre réel, c'est terminé. - Un résultat $\frac{0}{0}$ signifie « simplifier d'abord » : factorisez, simplifiez, utilisez la quantité conjuguée ou réduisez au même dénominateur, puis remplacez à nouveau. - Un nombre non nul divisé par $0$ signifie que la limite est infinie ou n'existe pas : étudiez alors les limites à gauche et à droite. Ces **exercices sur le calcul de limites** couvrent toutes les méthodes nécessaires pour les limites finies : substitution directe, factorisation, quantité conjuguée, réduction au même dénominateur, limites trigonométriques usuelles et limites à gauche et à droite. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées. La stratégie pour chaque exercice : $$\text{remplacer} \;\to\; \text{si } \tfrac{0}{0},\ \text{simplifier} \;\to\; \text{remplacer à nouveau}$$ Pour comprendre pourquoi cela fonctionne, lisez [comment calculer une limite](/blog/how-to-evaluate-limits) et la règle de la [substitution directe](/rules/direct-substitution). ## Exercices **Substitution directe** 1. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)$ 2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}$ 3. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}$ **Factoriser une forme 0/0** 4. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 5. $\displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$ 6. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}$ **Quantité conjuguée et fractions** 7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ 8. $\displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}$ **Limites trigonométriques** 9. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}$ 10. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}$ **Limites à gauche et à droite** 11. $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}$ 12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}$ ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $2$ | | 3 | $\dfrac{3}{2}$ | | 4 | $6$ | | 5 | $-\dfrac{1}{4}$ | | 6 | $3$ | | 7 | $\dfrac{1}{6}$ | | 8 | $-\dfrac{1}{16}$ | | 9 | $5$ | | 10 | $\dfrac{1}{2}$ | | 11 | $+\infty$ | | 12 | N'existe pas (limite à gauche $-1$, limite à droite $1$) | ## Solutions détaillées **1.** Les polynômes sont continus partout, donc remplacez : $$3(2)^2 - 5(2) + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$ **2.** Le dénominateur ne s'annule pas en $x = 0$, donc remplacez : $$\frac{e^0 + \cos 0}{0 + 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$ **3.** Là encore, rien ne pose problème en $x = 3$ : $$\frac{\sqrt{3 + 6}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2}$$ **4.** La substitution donne $\frac{0}{0}$. Factorisez la différence de deux carrés et simplifiez : $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \;\to\; 3 + 3 = 6$$ **5.** La substitution donne $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$. Factorisez le numérateur et le dénominateur : $$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2} \;\to\; \frac{-2+3}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$ **6.** Utilisez la différence de deux cubes, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ : $$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2 + x + 1 \;\to\; 1 + 1 + 1 = 3$$ **7.** La substitution donne $\frac{0}{0}$. Multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x+9} + 3$ : $$\frac{(x + 9) - 9}{x\left(\sqrt{x+9} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3} \;\to\; \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$ **8.** Réduisez au même dénominateur au numérateur : $\frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}$. Comme $4 - x = -(x - 4)$ : $$\frac{-(x-4)}{4x(x-4)} = -\frac{1}{4x} \;\to\; -\frac{1}{16}$$ **9.** Utilisez $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ avec $\theta = 5x$. Multipliez et divisez par $5$ : $$\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x} \;\to\; 5\cdot 1 = 5$$ **10.** Multipliez par $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ et utilisez $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ : $$\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1 + \cos x} \;\to\; 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ **11.** La substitution donne $\frac{3}{0}$, donc la limite est infinie. Pour $x$ légèrement supérieur à $2$, le numérateur est proche de $3$ et le dénominateur est un petit nombre positif, donc la fraction est grande et positive : la limite vaut $+\infty$. Il y a une asymptote verticale en $x = 2$. **12.** Pour $x > 0$, $|x| = x$, donc la fraction vaut $1$. Pour $x < 0$, $|x| = -x$, donc la fraction vaut $-1$. Les limites à gauche et à droite valent $1$ et $-1$. Elles sont différentes, donc la limite n'existe pas. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **S'arrêter à 0/0.** Dans l'exercice 4, $\frac{0}{0}$ n'est pas une réponse. C'est le signal qu'il faut d'abord factoriser. - **Simplifier des termes au lieu de facteurs.** Dans l'exercice 5, on peut simplifier par $(x+2)$ car il multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. On ne peut jamais simplifier le $x^2$ de $x^2 + 5x + 6$ et de $x^2 - 4$. - **Écrire $\frac{\sin 5x}{x} = \sin 5$.** On ne peut pas simplifier le $x$ à l'intérieur d'un sinus. L'exercice 9 demande la limite usuelle $\frac{\sin\theta}{\theta}\to 1$. - **Ignorer le côté.** Dans l'exercice 11, le côté compte. Par la gauche, la même fraction tend vers $-\infty$, donc seule la limite à droite vaut $+\infty$. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate à chaque étape, essayez la [substitution directe](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution), puis la [factorisation des formes 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) et la leçon sur le [théorème des gendarmes](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem). Quand vous serez prêt pour les limites quand $x\to\infty$, passez aux [exercices sur les limites à l'infini](/practice-problems/limits-at-infinity). ## Questions fréquentes ### Quelle est la première étape pour calculer une limite ? Remplacez la variable par la valeur dans la fonction. Si le résultat est un nombre réel, c'est la limite. Il ne faut travailler davantage que si vous obtenez une forme comme $\frac{0}{0}$ ou un nombre non nul divisé par zéro. ### Que signifie 0/0 dans un calcul de limite ? C'est une forme indéterminée. Elle ne signifie pas que la limite vaut 0 ni qu'elle n'est pas définie. Elle indique qu'il faut simplifier l'expression, en général en factorisant et en simplifiant un facteur commun, avant de remplacer à nouveau. ### Quand une limite n'existe-t-elle pas ? Une limite n'existe pas quand les limites à gauche et à droite sont différentes, comme pour $\frac{|x|}{x}$ en $0$, quand la fonction croît sans borne, ou quand elle oscille indéfiniment, comme $\sin\frac{1}{x}$ près de $0$. ### Quand utiliser la quantité conjuguée pour calculer une limite ? Utilisez-la quand une racine carrée apparaît dans une somme ou une différence et que la substitution donne $\frac{0}{0}$, comme dans $\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$. Multiplier par la quantité conjuguée fait disparaître la racine du numérateur, ce qui permet de simplifier un facteur $x$.