# Changement de variable (intégrales) : exercices corrigés

> 12 exercices corrigés sur le changement de variable dans les intégrales, de (x²+1)⁵ à ln x / x, avec retour à x et intégrales définies.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-changement-de-variable
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes
- **Niveau:** Analyse 1, Analyse 2 et AP Calculus AB, unité 6
- **Prérequis:** Les primitives usuelles et la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule)
- **Idée principale:** Prendre la fonction intérieure comme $u$, remplacer $g'(x)\,dx$ par $du$, et intégrer en $u$
- **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur le changement de variable](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution)

## À retenir

- Choisissez $u$ comme la partie intérieure d'une fonction composée dont la dérivée apparaît aussi, à une constante près.
- Après le changement de variable, il ne doit plus rester aucun $x$. S'il en reste un, résolvez $u = g(x)$ en $x$ et remplacez-le.
- Dans une intégrale définie, changez les bornes en valeurs de $u$ pour ne jamais avoir à revenir en arrière.

Ces **exercices sur le changement de variable** commencent par des fonctions intérieures bien visibles et progressent vers les logarithmes, le retour à la variable d'origine et les intégrales définies avec de nouvelles bornes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

La méthode :

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$$

Posez $u$ égal à la fonction intérieure, calculez $du$, remplacez tout, intégrez, puis revenez à $x$. Pour un rappel, lisez la page sur le [changement de variable](/rules/u-substitution-rule).

## Exercices

**La dérivée est déjà là**

1. $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx$
2. $\displaystyle\int \cos(3x)\,dx$
3. $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$
4. $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx$

**Logarithmes et trigonométrie**

5. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
6. $\displaystyle\int \tan x\,dx$
7. $\displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx$
8. $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$
9. $\displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx$

**Exprimer x en fonction de u**

10. $\displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx$

**Intégrales définies**

11. $\displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx$

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$ |
| 2 | $\dfrac{\sin(3x)}{3} + C$ |
| 3 | $\dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ |
| 4 | $\dfrac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C$ |
| 5 | $\dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$ |
| 6 | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ |
| 7 | $-\dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ |
| 8 | $\ln(1 + e^x) + C$ |
| 9 | $\ln\lvert\ln x\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$ |
| 11 | $78$ |
| 12 | $e - 1$ |

## Solutions détaillées

**1.** Posez $u = x^2 + 1$, donc $du = 2x\,dx$. C'est exactement le facteur devant :

$$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$

**2.** Posez $u = 3x$, donc $du = 3\,dx$ et $dx = \frac{1}{3}du$ :

$$\frac{1}{3}\int\cos u\,du = \frac{\sin(3x)}{3} + C$$

**3.** Posez $u = x^2$, donc $du = 2x\,dx$ et $x\,dx = \frac{1}{2}du$ :

$$\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

**4.** Posez $u = x^3 + 1$, donc $du = 3x^2\,dx$ et $x^2\,dx = \frac{1}{3}du$ :

$$\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + C$$

**5.** Posez $u = \ln x$, donc $du = \frac{1}{x}dx$ :

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

**6.** Écrivez $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Posez $u = \cos x$, donc $du = -\sin x\,dx$ :

$$-\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|\cos x| + C$$

C'est la même chose que $\ln|\sec x| + C$. Voir l'[intégrale de tan x](/integrals/tan-x).

**7.** Posez $u = \cos x$, donc $\sin x\,dx = -du$ :

$$-\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$$

**8.** Posez $u = 1 + e^x$, donc $du = e^x\,dx$. Comme $1 + e^x > 0$, la valeur absolue est inutile :

$$\int\frac{1}{u}\,du = \ln(1 + e^x) + C$$

**9.** Posez $u = \ln x$, donc $du = \frac{1}{x}dx$. L'intégrale devient $\int\frac{1}{u}\,du$ :

$$\ln|\ln x| + C$$

**10.** Posez $u = x + 1$, donc $du = dx$. Il reste un $x$, donc exprimez-le : $x = u - 1$. Alors :

$$\int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int\left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$

Remplacez $u = x + 1$ pour obtenir la réponse du tableau.

**11.** Posez $u = x^2 + 1$, donc $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Changez les bornes : $x = 0$ donne $u = 1$ et $x = 2$ donne $u = 5$ :

$$\frac{1}{2}\int_1^5 u^3\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} = \frac{624}{8} = 78$$

**12.** Posez $u = \sin x$, donc $du = \cos x\,dx$. Les bornes deviennent $u = 0$ et $u = 1$ :

$$\int_0^1 e^u\,du = e - 1$$

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Laisser $dx$ dans l'intégrale.** Après le changement de variable, tout doit être exprimé en $u$ et $du$. Un $dx$ restant signifie qu'il manque une étape.
- **Diviser par une variable.** Dans $\int e^{x^2}\,dx$, il n'y a pas de facteur $x$, donc $u = x^2$ ne fonctionne pas. On peut corriger des constantes, pas des variables.
- **Garder les anciennes bornes.** Dans l'exercice 11, intégrer $u^3$ de $0$ à $2$ donne une mauvaise réponse. Changez les bornes ou revenez d'abord à $x$.
- **Oublier de revenir à la variable d'origine.** Une primitive doit être exprimée en fonction de $x$.

## Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec de nouveaux nombres et une correction immédiate, essayez la [leçon sur le changement de variable](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) et le [rappel d'Analyse 2](/learn/calculus-2/integration-techniques/u-substitution-refresher). Pour d'autres exemples corrigés, lisez le [guide du changement de variable](/blog/u-substitution). Quand le changement de variable ne fonctionne plus sur les produits, passez aux [exercices sur l'intégration par parties](/practice-problems/integration-by-parts).

## Questions fréquentes

### Comment choisir u dans un changement de variable ?

Cherchez une fonction à l'intérieur d'une autre, comme le $x^2 + 1$ dans $(x^2+1)^5$, dont la dérivée apparaît aussi en facteur. Une constante manquante ne pose pas de problème, puisqu'on peut diviser par elle. Si le choix laisse des termes en $x$ impossibles à remplacer, essayez un autre $u$.

### Que faire si la dérivée de u diffère d'une constante ?

Divisez par la constante. Dans $\int x\,e^{x^2}\,dx$, $du = 2x\,dx$, donc $x\,dx = \frac{1}{2}du$. On ne peut corriger ainsi que des constantes, pas des variables manquantes.

### Le changement de variable est-il l'inverse de la dérivation en chaîne ?

Oui. La dérivation en chaîne donne $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$, donc intégrer $F'(g(x))g'(x)$ redonne $F(g(x)) + C$. Toute réponse obtenue par changement de variable se vérifie en dérivant avec la règle de dérivation en chaîne.