# Changement de variable trigonométrique : exercices corrigés

> 12 exercices corrigés de changement de variable trigonométrique avec solutions complètes pour √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) et la forme canonique.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-changement-variable-trigonometrique
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes
- **Niveau:** Analyse 2
- **Prérequis:** Les [intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals) et les identités de Pythagore
- **Idée principale:** Choisir $x$ pour que l'expression sous la racine devienne le carré parfait d'une fonction trigonométrique
- **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur le changement de variable trigonométrique](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution)

## À retenir

- Identifiez la forme : $a^2 - x^2$ demande $x = a\sin\theta$, $a^2 + x^2$ demande $x = a\tan\theta$, et $x^2 - a^2$ demande $x = a\sec\theta$.
- Remplacez aussi $dx$ : $x = a\sin\theta$ donne $dx = a\cos\theta\,d\theta$.
- Dessinez un triangle rectangle à partir du changement de variable pour revenir de $\theta$ à $x$.

Ces **exercices sur le changement de variable trigonométrique** couvrent les trois formes classiques, quelques cas où une formule s'applique directement, des intégrales définies et la mise sous forme canonique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

Choisissez le changement de variable selon la forme sous la racine :

| Expression | Changement de variable | Identité utilisée |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ |

## Exercices

**Application directe d'une formule**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx$

**Changements de variable complets**

4. $\displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx$
5. $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
7. $\displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$ pour $x > 1$

**Intégrales définies**

9. $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$
10. $\displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx$

**Forme canonique d'abord**

11. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$
12. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx$

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $\arcsin\dfrac{x}{2} + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C$ |
| 3 | $\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C$ |
| 4 | $\dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C$ |
| 5 | $\dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$ |
| 6 | $-\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C$ |
| 7 | $\dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C$ |
| 8 | $\sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C$ |
| 9 | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| 10 | $\dfrac{\pi}{8}$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C$ |
| 12 | $\arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C$ |

## Solutions détaillées

**1.** Posez $x = 2\sin\theta$, donc $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$. L'intégrale devient $\int d\theta = \theta$ :

$$\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**2.** Posez $x = 3\tan\theta$, donc $dx = 3\sec^2\theta\,d\theta$ et $9 + x^2 = 9\sec^2\theta$ :

$$\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**3.** Posez $x = 3\tan\theta$, donc $\sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta$ et l'intégrale devient $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$. D'après le triangle, $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ et $\tan\theta = \frac{x}{3}$. Le $\ln 3$ qui apparaît est absorbé dans la constante :

$$\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C$$

**4.** Posez $x = \sin\theta$, l'intégrale devient $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}$. Avec $\sin\theta = x$ et $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$, on obtient la réponse du tableau. Voir l'[intégrale de √(1 − x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).

**5.** Posez $x = 3\sin\theta$. Alors $x^2 = 9\sin^2\theta$, $dx = 3\cos\theta\,d\theta$ et $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$ :

$$\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C$$

Comme $\sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$, cela donne $\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$.

**6.** Posez $x = 2\sin\theta$. Alors $x^2 = 4\sin^2\theta$ et $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$ :

$$\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C$$

D'après le triangle, $\cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.

**7.** Posez $x = 2\tan\theta$. Alors $(x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta$ et $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ :

$$\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C$$

D'après le triangle, $\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

**8.** Posez $x = \sec\theta$, donc $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ et $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$ :

$$\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$

Avec $\tan\theta = \sqrt{x^2 - 1}$ et $\theta = \operatorname{arcsec} x$, on obtient la réponse.

**9.** Utilisez l'exercice 4 : $\frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}$. C'est un quart du disque unité.

**10.** Utilisez $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$ :

$$\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}$$

**11.** Mettez sous forme canonique : $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$. Avec $u = x + 1$, on obtient $\int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}$.

**12.** Mettez sous forme canonique : $3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2$. Avec $u = x + 1$, on obtient $\int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}$.

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Choisir le mauvais changement de variable.** $\sqrt{9 + x^2}$ demande $\tan$, et non $\sin$. Repérez le signe dans le tableau ci-dessus.
- **Oublier de remplacer $dx$.** Avec $x = 2\tan\theta$, $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$. Laisser $dx$ tel quel fausse toutes les étapes suivantes.
- **Laisser la réponse en $\theta$.** Une primitive en $x$ doit s'exprimer en $x$. Utilisez le triangle.
- **Utiliser un changement trigonométrique quand un changement simple suffit.** $\int x\sqrt{4 - x^2}\,dx$ se fait en une ligne avec $u = 4 - x^2$.

## Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur le changement de variable trigonométrique](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution) et la [leçon sur le choix d'une stratégie](/learn/calculus-2/integration-techniques/choosing-a-strategy). Pour des exemples corrigés, lisez le [guide du changement de variable trigonométrique](/blog/trig-substitution). Pour les fonctions rationnelles sans racine, passez aux [exercices sur la décomposition en éléments simples](/practice-problems/partial-fractions).

## Questions fréquentes

### Quand utiliser un changement de variable trigonométrique ?

Quand vous voyez $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$, ou $a^2 + x^2$ élevé à une puissance, et qu'un changement de variable plus simple ne fonctionne pas. Si un facteur $x$ est en dehors de la racine, comme dans $\int x\sqrt{1 - x^2}\,dx$, essayez d'abord un changement de variable simple.

### Comment revenir à x après un changement de variable trigonométrique ?

Dessinez un triangle rectangle. Pour $x = 2\sin\theta$, notez $x$ le côté opposé et $2$ l'hypoténuse. Le côté adjacent vaut alors $\sqrt{4 - x^2}$, et vous pouvez lire $\cos\theta$, $\tan\theta$ ou tout autre rapport.

### Que faire avec un trinôme qui n'est pas sous la forme standard ?

Mettez-le d'abord sous forme canonique. Par exemple, $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, qui correspond à $u^2 + a^2$ avec $u = x + 1$ et $a = 2$. Les exercices 11 et 12 le montrent.