# Courbes paramétrées et polaires : exercices corrigés > 12 exercices corrigés sur les courbes paramétrées et polaires : dy/dx, tangentes, longueur d'arc, changement de coordonnées, pentes et aires polaires. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-courbes-parametrees-et-polaires Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 2 et AP Calculus BC, unité 9 - **Prérequis:** La [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule), les valeurs trigonométriques et les [intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals) - **Idée principale:** En paramétrique : diviser les dérivées par rapport à $t$. En polaire : utiliser $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur l'aire en coordonnées polaires](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) ## À retenir - Pour une courbe paramétrée, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, et $\frac{d^2y}{dx^2}$ est la dérivée par rapport à $t$ de $\frac{dy}{dx}$, divisée à nouveau par $\frac{dx}{dt}$. - Changez de coordonnées avec $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ et $r^2 = x^2 + y^2$. - L'aire en polaire vaut $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$. Choisissez des bornes qui parcourent la région exactement une fois. Ces **exercices sur les courbes paramétrées et polaires** portent sur les pentes, les tangentes, les dérivées secondes et la longueur d'arc des courbes paramétrées, puis sur les changements de coordonnées, les pentes et les aires en coordonnées polaires. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes. Les formules clés : $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad L = \int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$$ ## Exercices **Courbes paramétrées** 1. Pour $x = t^2$, $y = t^3$, calculez $\frac{dy}{dx}$ et sa valeur en $t = 2$. 2. Déterminez la tangente à la courbe de l'exercice 1 en $t = 2$. 3. Éliminez le paramètre : $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$. 4. Pour $x = t^2$, $y = t^3$, calculez $\frac{d^2y}{dx^2}$. 5. Déterminez les points où $x = t^2 - 1$, $y = t^3 - 3t$ a une tangente horizontale. 6. Calculez la longueur d'arc de $x = t^2$, $y = \frac{2}{3}t^3$ pour $0 \le t \le 1$. **Coordonnées polaires** 7. Convertissez le point polaire $(r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ en coordonnées cartésiennes. 8. Convertissez $r = 4\sin\theta$ en équation cartésienne et décrivez la courbe. 9. Calculez la pente $\frac{dy}{dx}$ de $r = 1 + \cos\theta$ en $\theta = \frac{\pi}{2}$. **Aires en coordonnées polaires** 10. Calculez l'aire intérieure à $r = 2\cos\theta$. 11. Calculez l'aire d'un pétale de $r = \cos(2\theta)$. 12. Calculez l'aire intérieure à la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ ; en $t = 2$, pente $3$ | | 2 | $y = 3x - 4$ | | 3 | $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ | | 4 | $\frac{3}{4t}$ | | 5 | $(0, -2)$ et $(0, 2)$ | | 6 | $\frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 1.219$ | | 7 | $\left(2, 2\sqrt{3}\right)$ | | 8 | $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, un cercle | | 9 | $1$ | | 10 | $\pi$ | | 11 | $\frac{\pi}{8}$ | | 12 | $\frac{3\pi}{2}$ | ## Solutions détaillées **1.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ et $\frac{dy}{dt} = 3t^2$ : $$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \qquad \text{en } t = 2: \ 3$$ **2.** En $t = 2$, le point est $(4, 8)$ et la pente vaut $3$ : $y - 8 = 3(x - 4)$, donc $y = 3x - 4$. **3.** $\cos t = \frac{x}{2}$ et $\sin t = \frac{y}{3}$. Utilisez $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ : $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$ C'est une ellipse. **4.** Dérivez $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ par rapport à $t$ pour obtenir $\frac{3}{2}$, puis divisez par $\frac{dx}{dt} = 2t$ : $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$$ **5.** $\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0$ en $t = \pm 1$, et $\frac{dx}{dt} = 2t \neq 0$ en ces valeurs. En $t = 1$ : $(0, -2)$. En $t = -1$ : $(0, 2)$. **6.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ et $\frac{dy}{dt} = 2t^2$, donc la vitesse vaut $\sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2}$ pour $t \ge 0$. Avec $u = 1 + t^2$ : $$\int_0^1 2t\sqrt{1 + t^2}\,dt = \left[\frac{2}{3}(1 + t^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$$ **7.** $x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2$ et $y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$. **8.** Multipliez les deux membres par $r$ : $r^2 = 4r\sin\theta$, donc $x^2 + y^2 = 4y$. Complétez le carré : $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$ C'est un cercle de rayon $2$ et de centre $(0, 2)$. **9.** Utilisez $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ avec $r' = -\sin\theta$. En $\theta = \frac{\pi}{2}$ : $r = 1$ et $r' = -1$. $$\frac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta = -1, \qquad \frac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta = -1$$ Donc $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1$. **10.** Le cercle est parcouru une fois pour $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ : $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi$$ Cela correspond bien à un cercle de rayon $1$. **11.** Un pétale va de $\theta = -\frac{\pi}{4}$ à $\frac{\pi}{4}$, où $\cos 2\theta \ge 0$. Utilisez $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ : $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$ **12.** Développez $(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$. Sur $[0, 2\pi]$, les intégrales de ces termes valent $2\pi$, $0$ et $\pi$ : $$\frac{1}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2}$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Diviser les dérivées secondes.** Dans l'exercice 4, $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t$ est faux. - **Prendre $\frac{dr}{d\theta}$ pour la pente.** Dans l'exercice 9, $r' = -1$ mais la pente de la courbe vaut $1$. - **Des bornes qui parcourent la courbe deux fois.** $r = 2\cos\theta$ sur $[0, 2\pi]$ fait deux fois le tour et donne $2\pi$. - **Oublier le $\frac{1}{2}$.** L'aire en polaire vaut $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$, et non $\int r\,d\theta$. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur les courbes paramétrées](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves), la [leçon sur la longueur d'arc en paramétrique](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length), la [leçon sur les pentes en polaire](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) et la [leçon sur l'aire en coordonnées polaires](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area). ## Questions fréquentes ### Comment calculer la dérivée seconde d'une courbe paramétrée ? Dérivez $\frac{dy}{dx}$ par rapport à $t$, puis divisez par $\frac{dx}{dt}$. Ce n'est pas $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. L'exercice 4 détaille les étapes. ### Pourquoi l'aire polaire vaut-elle un demi r au carré ? Une fine tranche d'une région polaire est presque un secteur de disque de rayon $r$ et d'angle $d\theta$. Un tel secteur a pour aire $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$, et l'intégrale additionne les tranches. ### Où une courbe paramétrée a-t-elle une tangente horizontale ? Là où $\frac{dy}{dt} = 0$ et $\frac{dx}{dt} \neq 0$. Une tangente verticale correspond à $\frac{dx}{dt} = 0$ et $\frac{dy}{dt} \neq 0$. Si les deux sont nuls, il faut une étude plus poussée.