# Dérivation en chaîne : exercices corrigés avec solutions > 12 exercices corrigés de dérivation en chaîne avec solutions détaillées, de (3x+1)⁵ aux fonctions imbriquées comme sin²(4x) et e^(cos x). Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivation-en-chaine Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 3 - **Prérequis:** La [règle de la puissance](/rules/power-rule) et les dérivées usuelles des fonctions trigonométriques, exponentielle et logarithme - **Idée clé:** Dériver la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçons sur la dérivation en chaîne](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) ## À retenir - Nommez d'abord la fonction intérieure $u$, puis écrivez la dérivée comme (dérivée extérieure en $u$) fois $u'$. - Pour des fonctions imbriquées, travaillez de l'extérieur vers l'intérieur et multipliez par une dérivée pour chaque couche. - L'erreur la plus fréquente est d'oublier la dérivée intérieure : vérifiez que chaque couche a apporté un facteur. Ces **exercices sur la dérivation en chaîne** commencent par une seule couche et vont jusqu'aux fonctions imbriquées et aux combinaisons avec les règles du produit et du quotient. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses sont données d'abord pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées. La règle à connaître : $$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$ On dérive la fonction extérieure sans toucher à l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Pour un rappel, lisez d'abord la page sur la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule). ## Exercices **Une seule couche** 1. $y = (3x + 1)^5$ 2. $y = \sqrt{x^2 + 9}$ 3. $y = \sin(4x)$ 4. $y = e^{x^2}$ 5. $y = \ln(x^3 + 2x)$ 6. $y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}$ **Deux couches ou plus** 7. $y = \sin^2(4x)$ 8. $y = e^{\cos x}$ 9. $y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)$ **Avec la règle du produit ou du quotient** 10. $y = x^2 \sin(3x)$ 11. $y = x\,e^{-2x}$ 12. $y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}$ ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $15(3x + 1)^4$ | | 2 | $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ | | 3 | $4\cos(4x)$ | | 4 | $2x\,e^{x^2}$ | | 5 | $\dfrac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$ | | 6 | $-\dfrac{6}{(2x - 5)^4}$ | | 7 | $8\sin(4x)\cos(4x) = 4\sin(8x)$ | | 8 | $-\sin x\,e^{\cos x}$ | | 9 | $\dfrac{\sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$ | | 10 | $2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$ | | 11 | $(1 - 2x)\,e^{-2x}$ | | 12 | $\dfrac{2(x+1)^3(x - 1)}{x^3}$ | ## Solutions détaillées **1.** L'intérieur est $u = 3x + 1$ avec $u' = 3$. L'extérieur est $u^5$, de dérivée $5u^4$ : $$y' = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ **2.** Écrivez $y = (x^2 + 9)^{1/2}$. La dérivée intérieure est $2x$ : $$y' = \frac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ **3.** L'extérieur est $\sin u$, de dérivée $\cos u$, et $u' = 4$ : $$y' = \cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x)$$ **4.** La dérivée de $e^u$ est $e^u \cdot u'$, avec $u = x^2$ : $$y' = e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$ **5.** La dérivée de $\ln u$ est $\frac{u'}{u}$ (voir la [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x)) : $$y' = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$ **6.** Réécrivez $y = (2x - 5)^{-3}$, puis appliquez la règle de la puissance à l'extérieur : $$y' = -3(2x - 5)^{-4}\cdot 2 = -\frac{6}{(2x-5)^4}$$ **7.** Il y a trois couches : un carré, un sinus et $4x$. Travaillez de l'extérieur vers l'intérieur : $$y' = 2\sin(4x)\cdot\cos(4x)\cdot 4 = 8\sin(4x)\cos(4x)$$ Avec la formule de duplication $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$, on obtient $4\sin(8x)$. **8.** L'extérieur est $e^u$ avec $u = \cos x$ et $u' = -\sin x$ : $$y' = e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}$$ **9.** L'extérieur est $\tan u$, de dérivée $\sec^2 u$, et $u = \sqrt{x}$ a pour dérivée $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $$y' = \sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ **10.** Utilisez la [règle du produit](/rules/product-rule), avec la dérivation en chaîne pour $\sin(3x)$ : $$y' = 2x\sin(3x) + x^2\cdot 3\cos(3x)$$ **11.** Encore la règle du produit. La dérivée de $e^{-2x}$ est $-2e^{-2x}$ : $$y' = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2e^{-2x}) = (1 - 2x)e^{-2x}$$ **12.** Utilisez la [règle du quotient](/rules/quotient-rule), avec la dérivation en chaîne au numérateur : $$y' = \frac{4(x+1)^3\cdot x^2 - (x+1)^4\cdot 2x}{x^4}$$ Mettez $2x(x+1)^3$ en facteur au numérateur : $2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1)$. Simplifiez par $x$ : $$y' = \frac{2(x+1)^3(x-1)}{x^3}$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier la dérivée intérieure.** Dans l'exercice 3, $\cos(4x)$ seul est faux. Le facteur $4$ est tout l'intérêt de la dérivation en chaîne. - **Modifier l'intérieur.** La dérivée de $\sin(4x)$ est $4\cos(4x)$, pas $4\cos(4)$ ni $\cos(4)$. L'intérieur reste exactement tel quel. - **Oublier une couche.** L'exercice 7 a trois couches, donc la réponse a trois facteurs. Comptez-les avant de conclure. - **Développer trop tôt.** Dans l'exercice 1, développer $(3x+1)^5$ d'abord est possible mais long et source d'erreurs. La dérivation en chaîne tient en une ligne. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs à chaque fois et une correction immédiate à chaque étape, essayez les [leçons sur la dérivation en chaîne](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers), puis l'[entraînement mixte sur la dérivation en chaîne](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general). Pour la théorie avec plus d'exemples, lisez le [guide de la dérivation en chaîne](/blog/chain-rule). ## Questions fréquentes ### Comment savoir quand utiliser la dérivation en chaîne ? Utilisez-la dès qu'une fonction se trouve à l'intérieur d'une autre, comme $(x^2+1)^5$, $\sin(3x)$ ou $e^{x^2}$. Si, en remplaçant l'intérieur par un simple $x$, vous obtenez une fonction que vous savez déjà dériver, la règle de dérivation en chaîne s'applique. ### Comment vérifier un résultat obtenu par dérivation en chaîne ? Comptez les couches et assurez-vous que chacune a produit un facteur. Vous pouvez aussi vérifier une valeur : choisissez un nombre pour $x$, estimez la pente avec un petit pas comme $\frac{f(x+0.001)-f(x)}{0.001}$ et comparez avec votre formule. ### Peut-on combiner la dérivation en chaîne et la règle du produit ? Oui, et c'est fréquent. Dans $x^2\sin(3x)$, on utilise la règle du produit pour le produit et la dérivation en chaîne pour dériver $\sin(3x)$. Les exercices 10 et 11 ci-dessous le montrent.