# Dérivation implicite : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés de dérivation implicite avec solutions détaillées : cercles, produits, trigonométrie, exponentielles, tangentes et y''. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivation-implicite Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 3 - **Prérequis:** La [dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule) et la [règle du produit](/rules/product-rule) - **Idée clé:** Dériver les deux membres par rapport à x, associer dy/dx à chaque terme en y, puis isoler dy/dx - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur la dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) ## À retenir - Chaque fois que vous dérivez un terme contenant $y$, multipliez par $\frac{dy}{dx}$. C'est la dérivation en chaîne à l'œuvre. - Un terme comme $xy$ demande la règle du produit : $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$. - Après avoir dérivé, regroupez tous les termes en $\frac{dy}{dx}$ d'un côté, factorisez puis divisez. Ces **exercices sur la dérivation implicite** commencent par des cercles et des produits simples, ajoutent la trigonométrie et les exponentielles, et se terminent par des tangentes, des tangentes horizontales et une dérivée seconde. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées. Le point clé : comme $y$ dépend de $x$, la dérivation en chaîne donne $$\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$ Ainsi $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$ et $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}$. Dans la suite, $y'$ désigne $\frac{dy}{dx}$. Pour un rappel, consultez la [règle de dérivation implicite](/rules/implicit-differentiation) ou le [guide de la dérivation implicite](/blog/implicit-differentiation). ## Exercices **Calculer dy/dx** 1. $x^2 + y^2 = 25$ 2. $xy = 8$ 3. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ 4. $x^2 + xy + y^2 = 7$ 5. $x^3 + y^3 = 6xy$ **Trigonométrie et exponentielles** 6. $\tan y = x$ 7. $e^y = x^2 + y$ 8. $\cos(xy) = y$ **Tangentes et dérivées secondes** 9. Trouvez la tangente à $x^2 + y^2 = 25$ au point $(3, -4)$. 10. Trouvez la tangente à $x^2 + xy + y^2 = 7$ au point $(1, 2)$. 11. Trouvez les points où $x^2 + xy + y^2 = 7$ admet une tangente horizontale. 12. Calculez $y''$ pour $x^2 + y^2 = 25$, en fonction de $y$ seulement. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $-\dfrac{x}{y}$ | | 2 | $-\dfrac{y}{x}$ | | 3 | $-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ | | 4 | $-\dfrac{2x + y}{x + 2y}$ | | 5 | $\dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ | | 6 | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | | 7 | $\dfrac{2x}{e^y - 1}$ | | 8 | $-\dfrac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$ | | 9 | $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{25}{4}$ | | 10 | $y = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{14}{5}$ | | 11 | $\left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}, -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ et $\left(-\dfrac{\sqrt{21}}{3}, \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ | | 12 | $-\dfrac{25}{y^3}$ | ## Solutions détaillées **1.** Dérivez les deux membres. Le membre de droite est une constante : $$2x + 2y\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{x}{y}$$ **2.** Le membre de gauche est un produit, donc utilisez la règle du produit : $$1\cdot y + x\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y}{x}$$ **3.** Écrivez les racines comme des puissances $\frac{1}{2}$ : $$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$ **4.** Le terme du milieu demande la règle du produit : $$2x + (y + x\,y') + 2y\,y' = 0$$ Regroupez les termes en $y'$ : $y'(x + 2y) = -(2x + y)$, donc $$y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$ **5.** Le membre de droite $6xy$ demande la règle du produit : $$3x^2 + 3y^2\,y' = 6y + 6x\,y'$$ Passez les termes en $y'$ à gauche et le reste à droite : $y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$. Divisez par $3$ : $$y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ **6.** Dérivez les deux membres : $\sec^2 y\cdot y' = 1$, donc $y' = \frac{1}{\sec^2 y}$. Utilisez $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$ : $$y' = \frac{1}{1 + x^2}$$ C'est exactement ainsi qu'on démontre la [dérivée de arctan x](/derivatives/arctan-x), puisque $\tan y = x$ signifie $y = \arctan x$. **7.** Dérivez : $e^y\,y' = 2x + y'$. Regroupez les $y'$ : $$y'(e^y - 1) = 2x \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{2x}{e^y - 1}$$ **8.** Le membre de gauche est une dérivation en chaîne avec un produit à l'intérieur : $$-\sin(xy)\cdot(y + x\,y') = y'$$ Développez : $-y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'$. Regroupez les $y'$ à droite : $$-y\sin(xy) = y'\big(1 + x\sin(xy)\big) \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$$ **9.** D'après l'exercice 1, $y' = -\frac{x}{y}$. Au point $(3, -4)$, la pente vaut $-\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$ : $$y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x - \frac{25}{4}$$ **10.** Vérifiez d'abord le point : $1 + 2 + 4 = 7$. D'après l'exercice 4, la pente en $(1, 2)$ est $$y' = -\frac{2(1) + 2}{1 + 2(2)} = -\frac{4}{5}$$ $$y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{4}{5}x + \frac{14}{5}$$ **11.** Une tangente horizontale exige $y' = 0$, donc le numérateur de la réponse de l'exercice 4 doit être nul : $2x + y = 0$, soit $y = -2x$. Remplacez dans l'équation de la courbe : $$x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 3x^2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{\tfrac{7}{3}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{3}$$ Puis $y = -2x$ donne les deux points du tableau des réponses. En ces deux points, le dénominateur $x + 2y = -3x$ n'est pas nul, donc la pente vaut bien $0$. **12.** Partez de $y' = -\frac{x}{y}$ et utilisez la règle du quotient : $$y'' = -\frac{1\cdot y - x\,y'}{y^2}$$ Remplacez $y' = -\frac{x}{y}$ : $$y'' = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$ Sur la courbe, $x^2 + y^2 = 25$, donc $y'' = -\frac{25}{y^3}$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier $y'$ sur les termes en $y$.** $\frac{d}{dx}y^2$ vaut $2y\,y'$, pas $2y$. Chaque terme en $y$ doit porter ce facteur. - **Traiter $xy$ comme une seule variable.** Dans l'exercice 2, $\frac{d}{dx}(xy)$ demande la règle du produit, ce qui donne deux termes. - **Donner une dérivée non nulle à la constante.** Dans l'exercice 1, la dérivée de $25$ est $0$. - **Ne pas remplacer $y'$ dans une dérivée seconde.** Dans l'exercice 12, remplacez $y'$ par $-\frac{x}{y}$ avant de simplifier. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles courbes et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la dérivation implicite](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation). La dérivation implicite par rapport au temps est l'outil principal des [exercices sur les taux de variation liés](/practice-problems/related-rates), et c'est elle qui permet de démontrer les [dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives). ## Questions fréquentes ### Quand utiliser la dérivation implicite ? Utilisez-la quand $y$ est mêlé à $x$ et qu'on ne peut pas facilement isoler $y$, comme dans $x^3 + y^3 = 6xy$. Elle fonctionne aussi quand on pourrait isoler $y$, par exemple sur un cercle, et elle est souvent plus rapide. ### Pourquoi multiplie-t-on par dy/dx en dérivation implicite ? Parce que $y$ est une fonction de $x$. Dériver $y^2$ par rapport à $x$ est un problème de dérivation en chaîne : l'extérieur est un carré et l'intérieur est $y$, donc le résultat est $2y\cdot\frac{dy}{dx}$. ### Comment trouver une tangente avec la dérivation implicite ? Calculez $\frac{dy}{dx}$ de façon implicite, remplacez les deux coordonnées du point pour obtenir la pente, puis utilisez l'équation de la droite passant par un point. Les exercices 9 et 10 le montrent.