# Dérivée par la définition (limite) : exercices corrigés > 12 exercices corrigés pour calculer une dérivée avec la limite du taux d'accroissement, des fonctions affines à 1/x, √x et aux tangentes. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivee-par-la-definition Mis à jour : 2026-11-06 $$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 2 - **Prérequis:** Développer des binômes, réduire des fractions au même dénominateur et [calculer des limites](/practice-problems/evaluating-limits) - **Idée principale:** Écrire le taux d'accroissement, simplifier jusqu'à éliminer h, puis faire tendre h vers 0 - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur la définition par la limite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) ## À retenir - Écrivez $f(x+h)$ avec soin en remplaçant chaque $x$ par $(x+h)$, y compris sous les racines et dans les fractions. - Après avoir soustrait $f(x)$, chaque terme restant au numérateur doit contenir un $h$. Sinon, vous avez fait une erreur de calcul. - Réduisez les fractions au même dénominateur et utilisez la quantité conjuguée pour les racines carrées. Les deux servent à simplifier le $h$ du dénominateur. Ces **exercices sur la dérivée par la définition** commencent par une droite et une parabole, passent aux cubes, aux fractions et aux racines carrées, et se terminent par des tangentes et des limites à reconnaître comme des dérivées. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses suivent directement la liste. La définition que vous utiliserez à chaque fois : $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Pour un rappel sur son origine, lisez le [guide de la dérivée par la définition](/blog/limit-definition-of-the-derivative). ## Exercices **Polynômes** 1. $f(x) = 5x - 3$ 2. $f(x) = x^2$ 3. $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 4. $f(x) = x^3$ **Fractions et racines** 5. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 6. $f(x) = \sqrt{x}$ 7. $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$ 8. $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ **En un point et tangentes** 9. Utilisez la définition pour calculer $f'(3)$ pour $f(x) = x^2 + 2x$. 10. Déterminez la tangente à $f(x) = x^2 - 3x$ en $x = 1$, en calculant la pente avec la définition. **Reconnaître la dérivée** 11. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ 12. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}$ ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $5$ | | 2 | $2x$ | | 3 | $6x - 4$ | | 4 | $3x^2$ | | 5 | $-\dfrac{1}{x^2}$ | | 6 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ | | 8 | $\dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ | | 9 | $8$ | | 10 | $y = -x - 1$ | | 11 | $32$ | | 12 | $\dfrac{1}{2}$ | ## Solutions détaillées **1.** $f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3$. Soustrayez $f(x)$ : $$\frac{(5x + 5h - 3) - (5x - 3)}{h} = \frac{5h}{h} = 5$$ Une droite a la même pente partout, donc $f'(x) = 5$. **2.** Développez $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$ : $$\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \;\to\; 2x$$ **3.** $f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1$. Après avoir soustrait $f(x)$, il ne reste que les termes en $h$ : $$\frac{6xh + 3h^2 - 4h}{h} = 6x + 3h - 4 \;\to\; 6x - 4$$ **4.** Développez $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ : $$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \;\to\; 3x^2$$ **5.** Réduisez au même dénominateur $x(x+h)$ : $$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \frac{-h}{h\,x(x+h)} = -\frac{1}{x(x+h)} \;\to\; -\frac{1}{x^2}$$ **6.** Multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$ : $$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$ Quand $h\to 0$, on obtient $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. **7.** Même idée que l'exercice 5, avec le dénominateur commun $(x + h + 2)(x + 2)$ : $$\frac{(x + 2) - (x + h + 2)}{h\,(x + h + 2)(x + 2)} = -\frac{1}{(x + h + 2)(x + 2)} \;\to\; -\frac{1}{(x + 2)^2}$$ **8.** Multipliez par la quantité conjuguée. Le numérateur devient $(2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h$ : $$\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}\right)} \;\to\; \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$ **9.** Utilisez $f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}$. Ici $f(3) = 15$ et $$f(3 + h) = 9 + 6h + h^2 + 6 + 2h = 15 + 8h + h^2$$ $$\frac{8h + h^2}{h} = 8 + h \;\to\; 8$$ **10.** D'abord la pente en $x = 1$. $f(1) = -2$ et $f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2$ : $$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{-h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(-1 + h) = -1$$ La tangente passe par $(1, -2)$ avec la pente $-1$ : $$y + 2 = -(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -x - 1$$ **11.** On reconnaît $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ avec $f(x) = x^4$ et $a = 2$, puisque $2^4 = 16$. La limite vaut donc $f'(2)$, et avec la [règle de la puissance](/rules/power-rule), $f'(x) = 4x^3$ donne $f'(2) = 32$. **12.** On reconnaît $f(x) = \sin x$ en $a = \frac{\pi}{3}$. La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$, donc la limite vaut $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Écrire $f(x+h)$ comme $f(x) + h$.** Dans l'exercice 2, $(x+h)^2$ vaut $x^2 + 2xh + h^2$, et non $x^2 + h$. - **Perdre un signe en soustrayant.** Mettez $f(x)$ entre parenthèses avant de soustraire, surtout dans l'exercice 3 où il y a trois termes. - **Faire tendre $h\to 0$ trop tôt.** Remplacer $h = 0$ avant de simplifier donne $\frac{0}{0}$. Simplifiez d'abord par $h$. - **Développer la quantité conjuguée au dénominateur.** Dans les exercices 6 et 8, laissez le dénominateur factorisé. Seul le numérateur doit être simplifié. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la définition par la limite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) et la [leçon sur les tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines). Une fois la définition bien maîtrisée, le raccourci est la règle de la puissance : entraînez-vous avec les [exercices sur la règle de la puissance](/practice-problems/power-rule). ## Questions fréquentes ### Quelle est la définition de la dérivée par la limite ? C'est $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, la limite des pentes des sécantes quand le second point se rapproche du premier. Quand cette limite existe, c'est la pente de la tangente en $x$. ### Pourquoi obtient-on 0/0 dans la définition de la dérivée ? Parce que le numérateur $f(x+h) - f(x)$ et le dénominateur $h$ tendent tous les deux vers $0$. C'est toujours le cas pour une fonction continue, donc il faut simplifier par le facteur $h$ avant de pouvoir faire $h\to 0$. ### Comment reconnaître une dérivée écrite sous forme de limite ? Comparez-la à $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Dans l'exercice 11, $\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ suit ce modèle avec $f(x) = x^4$ et $a = 2$, donc la limite vaut $f'(2) = 32$.