# Dérivée d'un produit et d'un quotient : exercices corrigés > 12 exercices corrigés sur la dérivée d'un produit et d'un quotient, avec solutions détaillées, un produit de trois facteurs et un exercice avec tableau. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivee-produit-quotient Mis à jour : 2026-11-06 $$ (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 2 - **Prérequis:** La [règle de la puissance](/practice-problems/power-rule) et les dérivées de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$ et $\cos x$ - **Idée principale:** Produit : dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second. Quotient : dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur la règle du produit](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) ## À retenir - Dans la règle du quotient, l'ordre compte : $f'g$ vient en premier, puis on soustrait $fg'$. Les inverser change le signe de la réponse. - Simplifiez le numérateur d'une dérivée de quotient en factorisant les morceaux communs comme $e^x$ ou une puissance de $x$. - Pour trois facteurs, dérivez un facteur à la fois et additionnez les trois termes. Ces **exercices sur les règles du produit et du quotient** commencent par des produits de deux facteurs, passent aux quotients, et se terminent par un produit de trois facteurs, un produit dans un quotient et un exercice à partir d'un tableau de valeurs. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes. Les deux règles : $$(fg)' = f'g + fg' \qquad\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ Pour un rappel, consultez les pages sur la [règle du produit](/rules/product-rule) et la [règle du quotient](/rules/quotient-rule), ou le [guide des règles du produit et du quotient](/blog/product-and-quotient-rules). ## Exercices **Règle du produit** 1. $y = x^2 e^x$ 2. $y = (x^2 + 1)(3x - 2)$ 3. $y = \sqrt{x}\,\ln x$ 4. $y = e^x\cos x$ **Règle du quotient** 5. $y = \dfrac{x}{x + 1}$ 6. $y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$ 7. $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 8. $y = \dfrac{\ln x}{x}$ 9. $y = \dfrac{e^x}{x^2}$ **Les deux ensemble** 10. $y = x\,e^x\sin x$ 11. $y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}$ 12. Sachant que $f(2) = 3$, $f'(2) = -1$, $g(2) = 4$ et $g'(2) = 5$, calculez $(fg)'(2)$ et $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(2)$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $(x^2 + 2x)\,e^x$ | | 2 | $9x^2 - 4x + 3$ | | 3 | $\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$ | | 4 | $e^x(\cos x - \sin x)$ | | 5 | $\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ | | 6 | $\dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$ | | 7 | $\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ | | 8 | $\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ | | 9 | $\dfrac{e^x(x - 2)}{x^3}$ | | 10 | $e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$ | | 11 | $\dfrac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$ | | 12 | $(fg)'(2) = 11$, $\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = -\dfrac{19}{16}$ | ## Solutions détaillées **1.** Posons $f = x^2$ et $g = e^x$, donc $f' = 2x$ et $g' = e^x$ : $$y' = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (x^2 + 2x)\,e^x$$ **2.** Posons $f = x^2 + 1$ et $g = 3x - 2$ : $$y' = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$ Vous pouvez vérifier en développant d'abord : $y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ donne la même dérivée. **3.** Posons $f = \sqrt{x}$ et $g = \ln x$, donc $f' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $g' = \frac{1}{x}$ : $$y' = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$$ Ici $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}$. **4.** La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$ : $$y' = e^x\cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$$ **5.** Numérateur $x$, dénominateur $x + 1$, et les deux dérivées valent $1$ : $$y' = \frac{1\cdot(x + 1) - x\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$$ **6.** Dérivée du numérateur $2$, dérivée du dénominateur $2x$ : $$y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$$ **7.** Dérivée du numérateur $\cos x$, dérivée du dénominateur $1$ : $$y' = \frac{x\cos x - \sin x\cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$ **8.** Dérivée du numérateur $\frac{1}{x}$, dérivée du dénominateur $1$ : $$y' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ **9.** Dérivée du numérateur $e^x$, dérivée du dénominateur $2x$ : $$y' = \frac{e^x x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{x e^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$$ **10.** Trois facteurs, donc trois termes. Dérivez $x$, puis $e^x$, puis $\sin x$, un à la fois : $$y' = 1\cdot e^x\sin x + x\cdot e^x\sin x + x e^x\cdot\cos x = e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$$ **11.** Le numérateur est un produit. D'après l'exercice 1, sa dérivée est $(x^2 + 2x)e^x$. Utilisez ensuite la règle du quotient : $$y' = \frac{(x^2 + 2x)e^x(x + 1) - x^2e^x\cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Factorisez $e^x$ au numérateur et développez : $(x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2)$. Donc $$y' = \frac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$$ **12.** Remplacez les valeurs dans chaque règle : $$(fg)'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(5) = 11$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{(-1)(4) - (3)(5)}{16} = -\frac{19}{16}$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Multiplier les dérivées.** $(x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x$. La règle du produit donne toujours deux termes. - **Soustraire dans le mauvais ordre.** Dans l'exercice 6, écrire $(2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3)$ au numérateur donne la bonne valeur absolue mais le mauvais signe. - **Oublier de mettre le dénominateur au carré.** Le dénominateur de la règle du quotient est $g^2$, et non $g$. - **Développer quand factoriser est plus simple.** Dans l'exercice 9, factorisez $xe^x$ au numérateur pour pouvoir simplifier par $x$. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la règle du produit](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) et la [leçon sur la règle du quotient](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule). Quand les facteurs contiennent eux-mêmes une fonction intérieure, comme $x^2\sin(3x)$, passez aux [exercices sur la dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule). ## Questions fréquentes ### Quand utiliser la règle du produit ou celle du quotient ? Utilisez la règle du produit quand deux fonctions sont multipliées, comme $x^2e^x$, et la règle du quotient quand l'une est divisée par l'autre, comme $\frac{\sin x}{x}$. Si le dénominateur est une simple puissance de $x$, vous pouvez souvent réécrire et utiliser la règle de la puissance. ### Comment retenir la règle du quotient ? Retenez « u prime v moins u v prime, sur v au carré ». Ici u est le numérateur $f$ et v le dénominateur $g$ : $\frac{g f' - f g'}{g^2}$. ### Quelle est la règle du produit pour trois fonctions ? $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Dérivez un facteur à la fois, gardez les deux autres, et additionnez les trois résultats. L'exercice 10 ci-dessous l'utilise.