# Dérivées exponentielle et logarithme : exercices corrigés

> 12 exercices corrigés sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes, avec solutions détaillées : e^x, a^x, ln x, propriétés du ln et x^x.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivees-exponentielle-logarithme
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées
- **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 2 et Unit 3
- **Prérequis:** Les propriétés du logarithme et la [dérivation en chaîne](/practice-problems/chain-rule)
- **Idée clé:** e^u se dérive en e^u fois u', et ln u se dérive en u' sur u
- **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur les dérivées exponentielles et logarithmiques](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives)

## À retenir

- $e^x$ est sa propre dérivée, et toute autre base fait apparaître un facteur égal à son logarithme népérien : $(a^x)' = a^x\ln a$.
- Utilisez les propriétés du logarithme pour le décomposer avant de dériver. Les quotients et les racines deviennent de simples sommes.
- Quand la variable est à la fois dans la base et dans l'exposant, comme dans $x^x$, prenez d'abord le $\ln$ des deux membres.

Ces **exercices sur les dérivées des fonctions exponentielle et logarithme** commencent par les règles de base, puis font intervenir la dérivation en chaîne, les propriétés du logarithme et la dérivation logarithmique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Les règles à connaître :

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ |

Avec une fonction intérieure $u$ : $(e^u)' = e^u u'$ et $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. Les démonstrations se trouvent sur les pages [dérivée de e^x](/derivatives/e-to-the-x), [dérivée de ln x](/derivatives/ln-x) et [dérivée de 2^x](/derivatives/2-to-the-x).

## Exercices

**Règles de base**

1. $y = 5e^x - \ln x$
2. $y = 2^x$
3. $y = \log_{10} x$

**Dérivation en chaîne**

4. $y = e^{3x}$
5. $y = \ln(x^2 + 1)$
6. $y = 5^{x^2}$

**Utiliser d'abord les propriétés du logarithme**

7. $y = \ln(5x)$
8. $y = \ln\sqrt{x^2 + 4}$
9. $y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)$

**Avec d'autres règles**

10. $y = x^2\ln x$
11. $y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$
12. $y = x^x$ pour $x > 0$

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $5e^x - \dfrac{1}{x}$ |
| 2 | $2^x\ln 2$ |
| 3 | $\dfrac{1}{x\ln 10}$ |
| 4 | $3e^{3x}$ |
| 5 | $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ |
| 6 | $2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x}$ |
| 8 | $\dfrac{x}{x^2 + 4}$ |
| 9 | $-\dfrac{2}{x^2 - 1}$ |
| 10 | $2x\ln x + x$ |
| 11 | $\dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2}$ |
| 12 | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Solutions détaillées

**1.** Dérivez chaque terme :

$$y' = 5e^x - \frac{1}{x}$$

**2.** Utilisez $(a^x)' = a^x\ln a$ avec $a = 2$ :

$$y' = 2^x\ln 2$$

**3.** Utilisez $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$ avec $a = 10$, ou écrivez d'abord $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ :

$$y' = \frac{1}{x\ln 10}$$

**4.** L'intérieur est $3x$, de dérivée $3$ :

$$y' = e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}$$

**5.** Utilisez $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1$ :

$$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

**6.** Utilisez $(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$ avec $a = 5$ et $u = x^2$ :

$$y' = 5^{x^2}\ln 5\cdot 2x = 2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$$

**7.** Décomposez le logarithme : $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. Le premier terme est une constante :

$$y' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

La dérivation en chaîne donne le même résultat : $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

**8.** Une racine carrée est une puissance $\frac{1}{2}$, et le logarithme fait passer les puissances devant :

$$y = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4}$$

**9.** Décomposez le quotient : $y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$. Alors

$$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{2}{x^2 - 1}$$

C'est bien plus court que la règle du quotient combinée à la dérivation en chaîne.

**10.** Utilisez la [règle du produit](/rules/product-rule) :

$$y' = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$$

**11.** Utilisez la [règle du quotient](/rules/quotient-rule). Le numérateur et le dénominateur ont tous deux pour dérivée $e^x$ :

$$y' = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x\cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$$

**12.** Ni la règle de la puissance ni la règle de l'exponentielle ne conviennent, car $x$ est aux deux endroits. Utilisez la [dérivation logarithmique](/rules/logarithmic-differentiation) : prenez le $\ln$ des deux membres.

$$\ln y = x\ln x$$

Dérivez les deux membres, avec la règle du produit à droite :

$$\frac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \quad\Rightarrow\quad y' = x^x(\ln x + 1)$$

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Appliquer la règle de la puissance à $e^x$ ou $2^x$.** $(2^x)'$ n'est pas $x\cdot 2^{x-1}$. La variable est dans l'exposant, il faut donc $2^x\ln 2$.
- **Écrire $\ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}$.** On oublie alors la dérivée intérieure $2x$ au numérateur.
- **Mal décomposer un logarithme.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$. Les propriétés du logarithme s'appliquent aux produits et aux quotients, pas aux sommes.
- **Traiter $x^x$ comme $x\cdot x^{x-1}$.** L'exercice 12 demande une dérivation logarithmique. Voir la [dérivée de x^x](/derivatives/x-to-the-x) pour en savoir plus.

## Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la [leçon sur les dérivées exponentielles et logarithmiques](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives), puis la [leçon sur la dérivation en chaîne avec les exponentielles](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials). Pour plus d'exemples corrigés, lisez le [guide des dérivées exponentielles et logarithmiques](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Questions fréquentes

### Quelle est la dérivée de e^x ?

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Avec une fonction à l'intérieur, utilisez la dérivation en chaîne : $\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}u'$, donc $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

### Quelle est la dérivée de ln x ?

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$. Avec une fonction intérieure, $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Remarquez que $\ln(5x)$ a aussi pour dérivée $\frac{1}{x}$, car $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$.

### Quelle est la dérivée de a^x ?

$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ pour toute base strictement positive $a$. Par exemple, $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Quand $a = e$, $\ln e = 1$ et on retrouve $e^x$.