# Dérivées partielles : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés sur les dérivées partielles : premier et second ordre, gradient, dérivée directionnelle, plan tangent et points critiques. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivees-partielles Mis à jour : 2026-11-06 $$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 3 - **Prérequis:** Toutes les règles de dérivation à une variable, surtout la [règle de dérivation en chaîne](/rules/chain-rule) - **Idée principale:** Dériver par rapport à une variable en traitant toutes les autres comme des constantes - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur les dérivées partielles](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) ## À retenir - Pour $f_x$, traitez $y$ comme un nombre. Pour $f_y$, traitez $x$ comme un nombre. Utilisez ensuite les règles habituelles. - Les dérivées croisées $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont égales pour les fonctions régulières, d'après le [théorème de Schwarz](/theorems/clairauts-theorem). Servez-vous-en pour vérifier. - La dérivée directionnelle est le produit scalaire du gradient par un vecteur unitaire. Normalisez d'abord la direction. Ces **exercices sur les dérivées partielles** commencent par les dérivées partielles premières, puis passent aux dérivées secondes, au gradient, aux dérivées directionnelles, aux plans tangents et aux points critiques. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes. L'idée unique derrière chaque exercice : $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}: \text{ dériver en } x, \text{ traiter } y \text{ comme une constante}$$ Pour ces notions illustrées, lisez le [guide des dérivées partielles](/blog/partial-derivatives) et le [guide du gradient](/blog/gradient-and-directional-derivatives). ## Exercices **Dérivées partielles premières** 1. $f(x, y) = x^3y^2 + 4xy$. Calculez $f_x$ et $f_y$. 2. $f(x, y) = e^{xy}$. Calculez $f_x$ et $f_y$. 3. $f(x, y) = \sin(x^2y)$. Calculez $f_x$ et $f_y$. 4. $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Calculez $f_x$. 5. $f(x, y) = \dfrac{x}{y}$. Calculez $f_x$ et $f_y$. 6. $f(x, y, z) = xyz + z^2$. Calculez $f_z$. **Dérivées secondes et valeurs** 7. $f(x, y) = x^2y^3$. Calculez $f_{xx}$, $f_{yy}$ et $f_{xy}$. 8. $f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2$. Calculez $f_x(1, 2)$ et $f_y(1, 2)$. **Gradients et plans** 9. Calculez $\nabla f(2, 1)$ pour $f(x, y) = x^2y$. 10. Calculez la dérivée directionnelle de $f(x, y) = x^2y$ en $(2, 1)$ dans la direction de $\langle 3, 4\rangle$. 11. Déterminez le plan tangent à $z = x^2 + y^2$ en $(1, 2, 5)$. 12. Déterminez et classez le point critique de $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $f_x = 3x^2y^2 + 4y$, $f_y = 2x^3y + 4x$ | | 2 | $f_x = ye^{xy}$, $f_y = xe^{xy}$ | | 3 | $f_x = 2xy\cos(x^2y)$, $f_y = x^2\cos(x^2y)$ | | 4 | $f_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$ | | 5 | $f_x = \dfrac{1}{y}$, $f_y = -\dfrac{x}{y^2}$ | | 6 | $f_z = xy + 2z$ | | 7 | $f_{xx} = 2y^3$, $f_{yy} = 6x^2y$, $f_{xy} = 6xy^2$ | | 8 | $f_x(1, 2) = 8$, $f_y(1, 2) = -1$ | | 9 | $\langle 4, 4\rangle$ | | 10 | $\frac{28}{5}$ | | 11 | $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$, soit $z = 2x + 4y - 5$ | | 12 | $(2, -3)$, un minimum local de valeur $-13$ | ## Solutions détaillées **1.** Pour $f_x$, $y^2$ et $4y$ sont des constantes : $f_x = 3x^2y^2 + 4y$. Pour $f_y$, $x^3$ et $4x$ sont des constantes : $f_y = 2x^3y + 4x$. **2.** Dérivation en chaîne avec la fonction intérieure $xy$. Sa dérivée par rapport à $x$ est $y$ et sa dérivée par rapport à $y$ est $x$ : $$f_x = ye^{xy}, \qquad f_y = xe^{xy}$$ **3.** Dérivation en chaîne avec la fonction intérieure $x^2y$ : $$f_x = \cos(x^2y)\cdot 2xy, \qquad f_y = \cos(x^2y)\cdot x^2$$ **4.** La dérivée de $\ln u$ est $\frac{u'}{u}$, et la dérivée par rapport à $x$ de $x^2 + y^2$ est $2x$ : $$f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **5.** Par rapport à $x$, $\frac{x}{y}$ est $x$ multiplié par la constante $\frac{1}{y}$. Par rapport à $y$, c'est $x\cdot y^{-1}$ : $$f_x = \frac{1}{y}, \qquad f_y = -xy^{-2} = -\frac{x}{y^2}$$ **6.** Traitez $x$ et $y$ comme des constantes : $f_z = xy + 2z$. **7.** D'abord, $f_x = 2xy^3$ et $f_y = 3x^2y^2$. Ensuite : $$f_{xx} = 2y^3, \qquad f_{yy} = 6x^2y, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) = 6xy^2$$ Vérification : $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2$. Les deux coïncident. **8.** $f_x = 2x + 3y$, donc $f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8$. $f_y = 3x - 2y$, donc $f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1$. **9.** $f_x = 2xy$ et $f_y = x^2$. En $(2, 1)$ : $\nabla f = \langle 4, 4\rangle$. **10.** La norme de $\langle 3, 4\rangle$ vaut $5$, donc le vecteur unitaire est $\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$ : $$D_{\mathbf{u}}f = \langle 4, 4\rangle\cdot\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle = \frac{12}{5} + \frac{16}{5} = \frac{28}{5}$$ **11.** $f_x = 2x = 2$ et $f_y = 2y = 4$ en $(1, 2)$. Le plan tangent est $z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b)$ : $$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5$$ **12.** Posez $f_x = 2x - 4 = 0$ et $f_y = 2y + 6 = 0$ : $(2, -3)$. Le test des dérivées secondes donne $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0$ avec $f_{xx} > 0$, donc c'est un minimum local. Sa valeur est $4 + 9 - 8 - 18 = -13$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Dériver la variable fixée.** Dans l'exercice 1, la dérivée $f_x$ de $4xy$ est $4y$, et non $4y + 4x$. - **Oublier la dérivation en chaîne.** Dans l'exercice 3, le facteur $2xy$ vient de la fonction intérieure $x^2y$. - **Utiliser une direction non unitaire.** Dans l'exercice 10, normalisez d'abord $\langle 3, 4\rangle$. - **Confondre l'ordre dans $f_{xy}$.** $f_{xy}$ signifie dériver d'abord par rapport à $x$, puis par rapport à $y$. Pour les fonctions régulières, les deux ordres donnent le même résultat, ce qui fournit une bonne vérification. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur les dérivées partielles](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), la [leçon sur les dérivées secondes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives), la [leçon sur les plans tangents](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) et la [leçon sur le gradient](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives). Pour l'optimisation sous contrainte, passez aux [exercices sur les multiplicateurs de Lagrange](/practice-problems/lagrange-multipliers). ## Questions fréquentes ### Comment calculer une dérivée partielle ? Choisissez la variable par rapport à laquelle vous dérivez, et traitez toutes les autres comme des constantes. Pour $f = x^3y^2$, $f_x = 3x^2y^2$, car $y^2$ n'est qu'un facteur constant. ### Que nous apprend le gradient ? Le gradient $\nabla f$ indique la direction de croissance la plus rapide, et sa norme est ce taux maximal. Il est aussi perpendiculaire aux lignes de niveau. ### Pourquoi le vecteur direction doit-il être unitaire ? La dérivée directionnelle mesure la variation par unité de distance. Un vecteur plus long multiplierait la réponse par sa norme. Dans l'exercice 10, utiliser $\langle 3, 4\rangle$ au lieu de $\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\rangle$ donne une réponse cinq fois trop grande.