# Dérivées trigonométriques : exercices corrigés avec solutions

> 12 exercices corrigés sur les dérivées des fonctions trigonométriques : sin, cos, tan, sec, csc, cot, avec règles du produit, du quotient et en chaîne.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-derivees-trigonometriques
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées
- **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 2 et Unit 3
- **Prérequis:** Les six dérivées trigonométriques et les [règles du produit et du quotient](/practice-problems/product-and-quotient-rules)
- **Idée clé:** Apprendre les six dérivées de base, puis les combiner avec les autres règles
- **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur les dérivées trigonométriques](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives)

## À retenir

- Les dérivées des fonctions en « co », $\cos x$, $\csc x$ et $\cot x$, commencent toutes par un signe moins.
- Les couples à retenir : $\tan x \to \sec^2 x$, $\sec x \to \sec x\tan x$, $\cot x \to -\csc^2 x$, $\csc x \to -\csc x\cot x$.
- Après une règle du quotient, cherchez $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Cette identité simplifie souvent le résultat, comme dans l'exercice 6.

Ces **exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques** commencent par les six dérivées de base, ajoutent les règles du produit et du quotient, puis la dérivation en chaîne, et se terminent par une dérivée seconde et une tangente. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Les six dérivées à connaître (sec, csc et cot désignent 1/cos, 1/sin et 1/tan) :

| Fonction | Dérivée |
| --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Chacune a sa propre page avec une démonstration, par exemple la [dérivée de tan x](/derivatives/tan-x) et la [dérivée de sec x](/derivatives/sec-x). Pour une vue d'ensemble, lisez le [guide des dérivées trigonométriques](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Exercices

**Dérivées de base**

1. $y = 3\sin x - 2\cos x$
2. $y = \tan x + \sec x$
3. $y = 4\csc x - \cot x$

**Règles du produit et du quotient**

4. $y = x^2\cos x$
5. $y = \sin x\cos x$
6. $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$

**Dérivation en chaîne**

7. $y = \sin(5x)$
8. $y = \cos(x^2)$
9. $y = \tan^3 x$
10. $y = \sec(3x)$

**Dérivées secondes et tangentes**

11. Calculez $y''$ pour $y = \sin(2x)$.
12. Trouvez la tangente à $y = \tan x$ en $x = \frac{\pi}{4}$.

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $3\cos x + 2\sin x$ |
| 2 | $\sec^2 x + \sec x\tan x$ |
| 3 | $-4\csc x\cot x + \csc^2 x$ |
| 4 | $2x\cos x - x^2\sin x$ |
| 5 | $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ |
| 6 | $\dfrac{1}{1 + \cos x}$ |
| 7 | $5\cos(5x)$ |
| 8 | $-2x\sin(x^2)$ |
| 9 | $3\tan^2 x\sec^2 x$ |
| 10 | $3\sec(3x)\tan(3x)$ |
| 11 | $-4\sin(2x)$ |
| 12 | $y = 2x + 1 - \dfrac{\pi}{2}$ |

## Solutions détaillées

**1.** Dérivez chaque terme. Le signe moins de $(\cos x)' = -\sin x$ se combine avec le $-2$ :

$$y' = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$

**2.** Utilisez directement les deux dérivées du tableau :

$$y' = \sec^2 x + \sec x\tan x$$

**3.** $\csc x$ et $\cot x$ ont toutes deux des dérivées négatives :

$$y' = 4(-\csc x\cot x) - (-\csc^2 x) = -4\csc x\cot x + \csc^2 x$$

**4.** Utilisez la [règle du produit](/rules/product-rule) avec $f = x^2$ et $g = \cos x$ :

$$y' = 2x\cos x + x^2(-\sin x) = 2x\cos x - x^2\sin x$$

**5.** Encore la règle du produit :

$$y' = \cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

D'après la formule de duplication, cela vaut $\cos(2x)$. Vous pouvez le vérifier autrement : $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, dont la dérivée est $\cos(2x)$.

**6.** Utilisez la [règle du quotient](/rules/quotient-rule). La dérivée du dénominateur est $-\sin x$ :

$$y' = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$$

Comme $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, le numérateur vaut $1 + \cos x$, et un facteur se simplifie :

$$y' = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$$

**7.** L'intérieur est $5x$, de dérivée $5$ :

$$y' = \cos(5x)\cdot 5 = 5\cos(5x)$$

**8.** L'intérieur est $x^2$, de dérivée $2x$ :

$$y' = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin(x^2)$$

**9.** Écrivez $y = (\tan x)^3$. L'extérieur est un cube et l'intérieur est $\tan x$ :

$$y' = 3(\tan x)^2\cdot\sec^2 x = 3\tan^2 x\sec^2 x$$

**10.** L'extérieur est $\sec u$, de dérivée $\sec u\tan u$, avec $u = 3x$ :

$$y' = \sec(3x)\tan(3x)\cdot 3 = 3\sec(3x)\tan(3x)$$

**11.** Dérivez deux fois, avec la dérivation en chaîne à chaque fois :

$$y' = 2\cos(2x), \qquad y'' = 2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)$$

**12.** Le point a pour ordonnée $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. La pente est $\sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$ :

$$y - 1 = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$$

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Oublier le signe moins.** Les dérivées de $\cos x$, $\cot x$ et $\csc x$ sont toutes négatives. L'exercice 3 en contient deux.
- **Confondre $\sec^2 x$ et $\sec(x^2)$.** $\sec^2 x$ signifie $(\sec x)^2$. Ce sont des fonctions très différentes.
- **Oublier la dérivée intérieure.** $\sin(5x)$ a pour dérivée $5\cos(5x)$, pas $\cos(5x)$.
- **Travailler en degrés.** Dans l'exercice 12, l'angle vaut $\frac{\pi}{4}$ radian. Utiliser $45$ dans l'équation de la tangente serait faux.

## Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la [leçon sur les dérivées trigonométriques](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives), puis la [leçon sur la dérivation en chaîne avec la trigonométrie](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-trig). Pour les fonctions réciproques, comme $\arcsin x$ et $\arctan x$, passez aux [exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Questions fréquentes

### Quelles sont les dérivées des six fonctions trigonométriques ?

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$, $(\sec x)' = \sec x\tan x$ et $(\csc x)' = -\csc x\cot x$. Toutes ces formules supposent des angles en radians.

### Pourquoi la dérivée de sin x est-elle cos x ?

À partir de la définition par la limite, $\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ se décompose grâce à la formule d'addition en $\sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$. Quand $h\to 0$, la première limite vaut $0$ et la seconde $1$, ce qui laisse $\cos x$.

### Les dérivées trigonométriques sont-elles valables en degrés ?

Pas sous cette forme. La règle $(\sin x)' = \cos x$ exige $x$ en radians. En degrés, un facteur supplémentaire $\frac{\pi}{180}$ apparaît, c'est pourquoi l'analyse utilise toujours les radians.