# Intégrales définies : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés sur les intégrales définies : polynômes, trigonométrie, symétrie, valeur absolue, géométrie et propriétés de l'intégrale. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-integrales-definies Mis à jour : 2026-11-06 $$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 6 - **Prérequis:** Les [primitives](/practice-problems/antiderivatives) et les [propriétés de l'intégrale définie](/rules/definite-integral-properties) - **Idée clé:** Trouver une primitive, puis soustraire sa valeur en la borne inférieure de sa valeur en la borne supérieure - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur l'aire algébrique](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) ## À retenir - Calculez $F(b) - F(a)$, et mettez $F(a)$ entre parenthèses pour que le signe moins porte sur tous les termes. - Une intégrale définie donne une aire algébrique : l'aire sous l'axe des $x$ compte négativement. - Utilisez la symétrie, la géométrie et les propriétés de l'intégrale pour gagner du temps quand c'est possible. Ces **exercices sur les intégrales définies** commencent par des calculs directs puis passent à la symétrie, aux valeurs absolues, à la géométrie et aux propriétés de l'intégrale. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées. L'outil de presque tous les exercices est le [théorème fondamental de l'analyse, 2e partie](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) : $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{où } F' = f$$ ## Exercices **Calcul direct** 1. $\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$ 2. $\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ 4. $\displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx$ 5. $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ **Raccourcis et découpages** 7. $\displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$ 9. Sachant que $\int_0^5 f(x)\,dx = 8$ et $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$, calculez $\int_2^5 f(x)\,dx$, $\int_5^2 2f(x)\,dx$ et $\int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx$. 10. $\displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx$ (utilisez la géométrie) **Interprétation** 11. Calculez la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$. 12. Calculez $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ et l'aire totale entre $y = \sin x$ et l'axe des $x$ sur $[0, 2\pi]$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $12$ | | 2 | $\frac{14}{3}$ | | 3 | $1$ | | 4 | $1$ | | 5 | $6$ | | 6 | $e - 1$ | | 7 | $0$ | | 8 | $\frac{5}{2}$ | | 9 | $5$, $-10$, $13$ | | 10 | $\frac{9\pi}{2}$ | | 11 | $3$ | | 12 | Intégrale $0$, aire totale $4$ | ## Solutions détaillées **1.** Une primitive est $\frac{x^3}{3} + x$ : $$\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$ **2.** Écrivez $\sqrt{x} = x^{1/2}$, de primitive $\frac{2}{3}x^{3/2}$ : $$\frac{2}{3}\left(4^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$ **3.** Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$ : $$\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$$ **4.** Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln x$ pour $x > 0$ : $$\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$ **5.** Une primitive est $x^3 - x^2$. Gardez les parenthèses autour de la valeur en la borne inférieure : $$\big(8 - 4\big) - \big((-1) - 1\big) = 4 - (-2) = 6$$ **6.** $e^x$ est sa propre primitive : $$e^1 - e^0 = e - 1$$ **7.** $x^3$ est une fonction impaire, et l'intervalle $[-2, 2]$ est symétrique par rapport à $0$. L'aire à gauche compense l'aire à droite, donc l'intégrale vaut $0$. Vérification : $\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0$. **8.** $|x - 1|$ change d'expression en $x = 1$. Coupez à cet endroit : $$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ Les deux morceaux sont des triangles : l'un de base $1$ et de hauteur $1$, l'autre de base $2$ et de hauteur $2$. **9.** L'intervalle $[0, 5]$ se découpe en $[0, 2]$ et $[2, 5]$, donc $\int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5$ (relation de Chasles). Échanger les bornes change le signe, donc $\int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10$. Pour la dernière, $\int_2^5 1\,dx = 3$, donc la réponse est $2(5) + 3 = 13$. Voir les [propriétés de l'intégrale définie](/rules/definite-integral-properties). **10.** $y = \sqrt{9 - x^2}$ est le demi-cercle supérieur de rayon $3$. La moitié de $\pi r^2$ vaut : $$\frac{1}{2}\pi(3)^2 = \frac{9\pi}{2}$$ **11.** La valeur moyenne est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ : $$\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$$ **12.** L'intégrale vaut $[-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$. L'arche au-dessus de l'axe compense l'arche en dessous. Pour l'aire totale, ajoutez les deux arches comme des nombres positifs. Chacune a pour aire $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2$, donc l'aire totale vaut $4$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier les parenthèses autour de $F(a)$.** Dans l'exercice 5, écrire $4 - 1 - 1$ au lieu de $4 - (-2)$ donne $2$ au lieu de $6$. - **Confondre aire algébrique et aire totale.** L'exercice 12 montre qu'elles peuvent être très différentes. Cherchez le mot « aire » dans l'énoncé. - **Intégrer $|x - 1|$ d'un seul morceau.** Il faut découper une valeur absolue là où son contenu change de signe. - **Oublier qu'échanger les bornes change le signe.** $\int_5^2$ est l'opposé de $\int_2^5$. ## Continuer à s'entraîner Pour des intégrales définies en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la [leçon sur l'aire algébrique](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) et la [leçon sur le théorème fondamental, 2e partie](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2). Passez ensuite aux [exercices sur le théorème fondamental](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus) et aux [exercices sur l'aire entre deux courbes](/practice-problems/area-between-curves). ## Questions fréquentes ### Faut-il ajouter +C dans une intégrale définie ? Non. La constante disparaît dans la soustraction : $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Une intégrale définie est un nombre. ### Une intégrale définie peut-elle être négative ? Oui. Si, sur $[a, b]$, la courbe est davantage sous l'axe des $x$ qu'au-dessus, l'intégrale est négative. Pour obtenir l'aire totale, intégrez plutôt $|f(x)|$, comme dans l'exercice 12. ### Que se passe-t-il si on échange les bornes ? Le signe change : $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. L'exercice 9 utilise cette propriété.