# Intégrales doubles : exercices corrigés avec solutions > 12 exercices corrigés sur les intégrales doubles : intégrales itérées, domaines quelconques, inversion de l'ordre, coordonnées polaires, volume et moyenne. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-integrales-doubles Mis à jour : 2026-11-06 $$ \iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 3 (analyse à plusieurs variables) - **Prérequis:** Les [intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals) et le [changement de variable](/practice-problems/u-substitution) - **Idée clé:** Intégrer d'abord par rapport à la variable intérieure en traitant la variable extérieure comme une constante, puis intégrer à nouveau - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur les intégrales itérées](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) ## À retenir - Travaillez de l'intérieur vers l'extérieur. Les bornes intérieures peuvent dépendre de la variable extérieure, mais les bornes extérieures doivent être des nombres. - Si l'intégrale intérieure n'a pas de primitive élémentaire, dessinez le domaine et inversez l'ordre d'intégration. - Pour les disques et les cercles, passez en coordonnées polaires et n'oubliez pas que $dA = r\,dr\,d\theta$. Ces **exercices sur les intégrales doubles** commencent par des rectangles puis passent aux domaines quelconques, à l'inversion de l'ordre d'intégration, aux coordonnées polaires, au volume et à la valeur moyenne. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées. La mise en place pour un domaine compris entre deux courbes : $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\right)dx$$ Calculez d'abord l'intégrale intérieure, en traitant $x$ comme une constante. Pour en savoir plus sur les domaines et l'ordre d'intégration, lisez le [guide des intégrales doubles](/blog/double-integrals). ## Exercices **Rectangles** 1. $\displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx$ 2. $\displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA$, $R = [0, 2]\times[0, 1]$ 3. $\displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx$ **Domaines quelconques** 4. $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx$ 5. $\displaystyle\iint_R x\,dA$, où $R$ est compris entre $y = x^2$ et $y = x$ 6. Calculez l'aire entre $y = x^2$ et $y = 4$ à l'aide d'une intégrale double. **Inverser l'ordre** 7. $\displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$ 8. $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx$ **Coordonnées polaires** 9. $\displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA$, $D$ le disque unité 10. $\displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA$, $D$ le disque $x^2 + y^2 \le 4$ 11. Calculez le volume sous $z = 4 - x^2 - y^2$ et au-dessus du plan $xy$. **Valeur moyenne** 12. Calculez la valeur moyenne de $f(x, y) = xy$ sur le carré $[0, 2]\times[0, 2]$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $4$ | | 3 | $1$ | | 4 | $\frac{1}{8}$ | | 5 | $\frac{1}{12}$ | | 6 | $\frac{32}{3}$ | | 7 | $\frac{e - 1}{2} \approx 0.859$ | | 8 | $\frac{1 - \cos 1}{2} \approx 0.230$ | | 9 | $\frac{\pi}{2}$ | | 10 | $\pi\left(1 - e^{-4}\right) \approx 3.084$ | | 11 | $8\pi$ | | 12 | $1$ | ## Solutions détaillées **1.** Intérieur : $\int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}$. Extérieur : $$\int_0^2\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = 2 + 1 = 3$$ **2.** Sur un rectangle, un produit $g(x)h(y)$ se sépare en deux intégrales simples : $$\int_0^2 6x\,dx\cdot\int_0^1 y^2\,dy = 12\cdot\frac{1}{3} = 4$$ **3.** On sépare à nouveau : $\int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. **4.** Intérieur : $\int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$. Extérieur : $\int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}$. **5.** Les courbes se coupent en $x = 0$ et $x = 1$, avec $y = x$ au-dessus : $$\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}x\,dy\,dx = \int_0^1 x(x - x^2)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **6.** Avec $f = 1$, l'intégrale double donne l'aire : $$\int_{-2}^{2}\!\int_{x^2}^{4}1\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \frac{32}{3}$$ **7.** $e^{x^2}$ n'a pas de primitive élémentaire, donc inversez l'ordre. Le domaine est $0 \le y \le x \le 1$, un triangle. Dans l'autre ordre, $x$ va de $0$ à $1$ et $y$ de $0$ à $x$ : $$\int_0^1\!\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$$ **8.** Le domaine est $0 \le x \le y \le 1$. Inversez pour que $y$ soit à l'extérieur : $$\int_0^1\!\int_0^y\sin(y^2)\,dx\,dy = \int_0^1 y\sin(y^2)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2}$$ **9.** En polaires, $x^2 + y^2 = r^2$ et $dA = r\,dr\,d\theta$ : $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$ **10.** Avec $u = r^2$ : $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\left(1 - e^{-4}\right) = \pi\left(1 - e^{-4}\right)$$ **11.** La surface coupe le plan là où $r = 2$. En polaires : $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2(4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi(8 - 4) = 8\pi$$ **12.** $\iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4$. L'aire du carré vaut $4$, donc la moyenne est $\frac{4}{4} = 1$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Des bornes extérieures avec des variables.** Après les deux intégrations, le résultat doit être un nombre. S'il reste un $x$, les bornes sont dans le mauvais ordre. - **Inverser l'ordre sans redessiner.** Dans l'exercice 7, échanger les signes d'intégration en gardant les bornes est faux. Dessinez le domaine et lisez-y les nouvelles bornes. - **Oublier le $r$ en polaires.** L'exercice 9 sans le $r$ supplémentaire donne $\frac{2\pi}{3}$ au lieu de $\frac{\pi}{2}$. - **Faire varier la variable extérieure.** Dans l'intégrale intérieure de l'exercice 4, $x$ est une constante, donc $\int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}$. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la [leçon sur les intégrales itérées](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals), la [leçon sur l'inversion de l'ordre](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order), la [leçon sur les domaines quelconques](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) et la [leçon sur les intégrales doubles en polaires](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals). ## Questions fréquentes ### Comment choisir l'ordre d'intégration ? Sur un rectangle avec des fonctions simples, les deux ordres conviennent (théorème de Fubini). Pour les autres domaines, choisissez l'ordre qui donne les bornes les plus simples, ou celui où l'intégrale intérieure est réellement calculable. Les exercices 7 et 8 ne se font qu'après inversion de l'ordre. ### Pourquoi y a-t-il un r supplémentaire dans les intégrales doubles en polaires ? Un petit morceau de domaine en polaires est presque un rectangle de côtés $dr$ et $r\,d\theta$, donc son aire vaut $r\,dr\,d\theta$. Oublier le $r$ est l'erreur la plus fréquente en polaires. ### Que représente une intégrale double ? Si $f \ge 0$, c'est le volume sous la surface $z = f(x, y)$ au-dessus du domaine. Avec $f = 1$, c'est l'aire du domaine. Divisée par l'aire, c'est la valeur moyenne de $f$.