# Intégration par parties : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés d'intégration par parties avec solutions détaillées : x eˣ, ln x, arctan x, parties répétées et la boucle e^x sin x. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-integration-par-parties Mis à jour : 2026-11-06 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 2 et AP Calculus BC, Unit 6 - **Prérequis:** Les [primitives](/practice-problems/antiderivatives) et le [changement de variable](/practice-problems/u-substitution) - **Idée clé:** Choisir $u$ pour qu'il se simplifie en le dérivant et $dv$ pour qu'il soit facile à intégrer - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur l'intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) ## À retenir - Utilisez LIATE pour choisir $u$ : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle. Le type qui vient en premier est en général $u$. - Pour $x^n$ multiplié par $e^x$, $\sin x$ ou $\cos x$, intégrez par parties $n$ fois. Chaque passage abaisse la puissance de un. - Pour $e^{ax}\sin bx$ ou $e^{ax}\cos bx$, intégrez par parties deux fois et isolez l'intégrale qui réapparaît. Ces **exercices sur l'intégration par parties** commencent par une seule intégration par parties et vont jusqu'aux parties répétées, à la méthode du tableau et aux intégrales qui reviennent sur elles-mêmes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées. La formule vient de la règle du produit : $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ Choisissez $u$ et $dv$, trouvez $du$ et $v$, puis appliquez la formule. Pour en savoir plus sur la formule, lisez la page sur l'[intégration par parties](/rules/integration-by-parts-rule). ## Exercices **Une seule intégration par parties** 1. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$ 2. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ 3. $\displaystyle\int \ln x\,dx$ 4. $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ 5. $\displaystyle\int x\sin(2x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int \arctan x\,dx$ **Parties répétées** 7. $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ 8. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$ **Intégrales qui reviennent sur elles-mêmes** 9. $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ 10. $\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx$ **Intégrales définies** 11. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ 12. $\displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx$ ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $(x - 1)e^x + C$ | | 2 | $x\sin x + \cos x + C$ | | 3 | $x\ln x - x + C$ | | 4 | $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$ | | 5 | $-\dfrac{x\cos(2x)}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$ | | 6 | $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$ | | 7 | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ | | 8 | $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$ | | 9 | $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$ | | 10 | $\dfrac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{5} + C$ | | 11 | $1$ | | 12 | $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ | ## Solutions détaillées **1.** Posez $u = x$ et $dv = e^x\,dx$, donc $du = dx$ et $v = e^x$ : $$x e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$ **2.** Posez $u = x$ et $dv = \cos x\,dx$, donc $v = \sin x$ : $$x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **3.** Posez $u = \ln x$ et $dv = dx$, donc $du = \frac{1}{x}dx$ et $v = x$ : $$x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **4.** Les logarithmes viennent en premier dans LIATE, donc $u = \ln x$ et $dv = x\,dx$, ce qui donne $v = \frac{x^2}{2}$ : $$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ **5.** Posez $u = x$ et $dv = \sin(2x)\,dx$, donc $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ : $$-\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$ **6.** Posez $u = \arctan x$ et $dv = dx$, donc $du = \frac{1}{1+x^2}dx$ et $v = x$ : $$x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}\,dx$$ La dernière intégrale se calcule par changement de variable avec $u = 1 + x^2$, ce qui donne $\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)$. **7.** Utilisez la méthode du tableau. Dérivées de $x^2$ : $x^2, 2x, 2, 0$. Primitives successives de $e^x$ : $e^x, e^x, e^x$. Multipliez en diagonale avec les signes $+, -, +$ : $$x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$ **8.** Encore la méthode du tableau. Dérivées : $x^2, 2x, 2, 0$. Primitives successives de $\cos x$ : $\sin x, -\cos x, -\sin x$. Avec les signes $+, -, +$ : $$x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x) = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$ **9.** Notez $I$ l'intégrale. Avec $u = \sin x$ et $dv = e^x\,dx$ : $I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$. Intégrez à nouveau par parties avec $u = \cos x$ : $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Donc : $$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$ **10.** Soit $I = \int e^{2x}\cos x\,dx$. Prenez $u = e^{2x}$ les deux fois. D'abord, $I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx$. Ensuite, $\int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I$. En regroupant : $$I = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x - 4I \quad\Rightarrow\quad 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x)$$ **11.** D'après l'exercice 1 : $$\big[(x - 1)e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$$ **12.** D'après l'exercice 4, avec $\ln e = 1$ et $\ln 1 = 0$ : $$\left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Choisir $u$ à l'envers.** Dans l'exercice 4, prendre $u = x$ et $dv = \ln x\,dx$ suppose de connaître déjà $\int\ln x\,dx$. Suivez LIATE. - **Erreurs de signe au second passage.** Dans les exercices 7 et 8, le signe moins devant $\int v\,du$ porte sur tout ce qui suit. La méthode du tableau aide à garder les bons signes. - **Inverser les rôles de $u$ et $dv$ en cours de boucle.** Dans l'exercice 10, si vous prenez $u = e^{2x}$ la première fois et $u = \sin x$ la seconde, vous annulez la première étape et obtenez $I = I$. - **Oublier le $\frac{1}{2}$ dans $v$.** Quand $dv = \sin(2x)\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$, et non $-\cos(2x)$. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices en nombre illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate, essayez la [leçon sur l'intégration par parties](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) et la [leçon sur les parties répétées et LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate). Pour plus d'exemples, consultez l'[intégrale de x e^x](/integrals/x-e-to-the-x), l'[intégrale de ln x](/integrals/ln-x) et le [guide de l'intégration par parties](/blog/integration-by-parts). Essayez ensuite les [exercices sur les intégrales trigonométriques](/practice-problems/trig-integrals). ## Questions fréquentes ### Comment choisir u et dv ? Choisissez $u$ pour que $du$ soit plus simple, et $dv$ pour pouvoir l'intégrer. LIATE est un guide rapide : d'abord les logarithmes, puis les fonctions trigonométriques réciproques, les fonctions algébriques, trigonométriques et exponentielles. Pour $\int x\ln x\,dx$, $u = \ln x$ car $\ln x$ est difficile à intégrer mais facile à dériver. ### Comment intégrer ln x ? Voyez-le comme $\ln x \cdot 1$, avec $u = \ln x$ et $dv = dx$. Alors $\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$. L'exercice 3 le montre. ### Qu'est-ce que la méthode du tableau ? Un raccourci pour les intégrations par parties répétées quand $u$ est un polynôme. Listez les dérivées de $u$ dans une colonne jusqu'à obtenir $0$, les primitives successives de $dv$ dans une autre, multipliez en diagonale et alternez les signes $+, -, +, \dots$ L'exercice 7 l'illustre.