# Limites à l'infini : exercices corrigés avec solutions

> 12 exercices corrigés sur les limites à l'infini : fonctions rationnelles, racines carrées, exponentielles et asymptotes horizontales, avec solutions.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-limites-a-l-infini
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b} $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes
- **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 1
- **Prérequis:** Savoir que $\frac{1}{x^p}\to 0$ quand $x\to\infty$ pour $p > 0$
- **Idée principale:** Diviser par la plus grande puissance de $x$ du dénominateur, puis faire tendre les petits termes vers 0
- **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur les limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity)

## À retenir

- Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés : un dénominateur de plus haut degré donne $0$, des degrés égaux donnent le quotient des coefficients dominants, un numérateur de plus haut degré donne $\pm\infty$.
- Avec les racines carrées, rappelez-vous que $\sqrt{x^2} = |x|$, qui vaut $-x$ quand $x\to -\infty$. Ce changement de signe modifie la réponse.
- Une forme $\infty - \infty$ avec une racine carrée demande en général la quantité conjuguée avant de voir la limite.

Ces **exercices sur les limites à l'infini** commencent par des fonctions rationnelles, puis passent aux racines carrées, à la forme $\infty - \infty$, aux exponentielles et aux asymptotes horizontales. Cherchez chaque exercice avant de vérifier. Les réponses suivent directement la liste, puis viennent les solutions complètes.

Le raccourci pour les fonctions rationnelles, où $n$ est le degré du numérateur et $m$ celui du dénominateur :

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \dfrac{\text{coefficient dominant du numérateur}}{\text{coefficient dominant du dénominateur}} & n = m \\ \pm\infty & n > m \end{cases}$$

Pour le raisonnement derrière ce résultat, lisez le [guide des limites à l'infini](/blog/limits-at-infinity).

## Exercices

**Fonctions rationnelles**

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}$

**Racines carrées**

5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$

**Trigonométrie et exponentielles**

8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$
9. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
10. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)$

**Asymptotes horizontales**

12. Déterminez toutes les asymptotes horizontales de $f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{5}$ |
| 2 | $0$ |
| 3 | $\infty$ |
| 4 | $-\dfrac{1}{3}$ |
| 5 | $\dfrac{3}{2}$ |
| 6 | $-\dfrac{3}{2}$ |
| 7 | $3$ |
| 8 | $0$ |
| 9 | $2$ |
| 10 | $-3$ |
| 11 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 12 | $y = 5$ (quand $x\to\infty$) et $y = -5$ (quand $x\to -\infty$) |

## Solutions détaillées

**1.** Les degrés sont égaux, donc divisez le numérateur et le dénominateur par $x^2$ :

$$\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}} \;\to\; \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$$

**2.** Le dénominateur a le plus haut degré. Divisez par $x^2$ :

$$\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \;\to\; \frac{0}{1} = 0$$

**3.** Le numérateur a le plus haut degré. Divisez par $x^2$ :

$$\frac{x - \frac{2}{x^2}}{4 + \frac{1}{x}}$$

Le numérateur croît sans limite tandis que le dénominateur tend vers $4$, donc la limite est $\infty$.

**4.** Encore des degrés égaux. Divisez par $x^3$ :

$$\frac{2 - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^3} - 6} \;\to\; \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$$

Le sens $-\infty$ ne change pas la réponse ici, car tous les termes restants tendent quand même vers $0$.

**5.** Factorisez $x^2$ sous la racine. Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$ :

$$\frac{x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; \frac{3}{2}$$

**6.** Même fonction, mais maintenant $x < 0$, donc $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ :

$$\frac{-x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; -\frac{3}{2}$$

**7.** C'est une forme $\infty - \infty$. Multipliez et divisez par la quantité conjuguée :

$$\frac{(x^2 + 6x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$$

Divisez le numérateur et le dénominateur par $x$ :

$$\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1} \;\to\; \frac{6}{1 + 1} = 3$$

**8.** Utilisez le [théorème des gendarmes](/theorems/squeeze-theorem). Comme $-1 \le \sin x \le 1$, pour $x > 0$ :

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$

Les deux fonctions extérieures tendent vers $0$, donc la limite vaut $0$.

**9.** Quand $x\to\infty$, $e^x$ est le terme dominant. Divisez par $e^x$ :

$$\frac{2 + 3e^{-x}}{1 - e^{-x}} \;\to\; \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$

**10.** Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$, donc remplacez simplement par cette valeur :

$$\frac{2(0) + 3}{0 - 1} = -3$$

**11.** Quand $x\to\infty$, $x^2\to\infty$, et $\arctan u\to\frac{\pi}{2}$ quand $u\to\infty$. La limite vaut donc $\frac{\pi}{2}$.

**12.** Sortez $\sqrt{x^2} = |x|$ de la racine : $\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$.

Quand $x\to\infty$, $|x| = x$ :

$$\frac{5x - 2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{5 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \;\to\; 5$$

Quand $x\to -\infty$, $|x| = -x$, ce qui change le signe et donne $-5$. La courbe a deux asymptotes horizontales : $y = 5$ à droite et $y = -5$ à gauche.

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Écrire $\frac{\infty}{\infty} = 1$.** Dans l'exercice 1, le numérateur et le dénominateur croissent tous les deux, mais la réponse est $\frac{3}{5}$. Divisez par la plus grande puissance pour voir ce qui se passe vraiment.
- **Oublier que $\sqrt{x^2} = |x|$.** Les exercices 6 et 12 donnent le mauvais signe si vous traitez $\sqrt{x^2}$ comme $x$ quand $x$ est négatif.
- **Écrire $\infty - \infty = 0$.** L'exercice 7 semble devoir donner $0$, mais la quantité conjuguée montre que la limite vaut $3$.
- **Supposer que les deux sens donnent la même chose.** Les exercices 9 et 10 utilisent la même fonction et donnent $2$ et $-3$. Les exponentielles se comportent très différemment de chaque côté.

## Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres à chaque fois et une correction immédiate, essayez la [leçon sur les limites à l'infini](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity), puis l'[entraînement mixte sur les limites](/learn/calculus-1/limits/limits-practice). Si une limite à l'infini devient $\frac{\infty}{\infty}$ avec un mélange d'exponentielles et de logarithmes, les [exercices sur la règle de L'Hôpital](/practice-problems/lhopitals-rule) montrent la méthode la plus rapide.

## Questions fréquentes

### Comment calculer une limite à l'infini ?

Divisez chaque terme par la plus grande puissance de $x$ du dénominateur. Les termes comme $\frac{3}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ tendent vers $0$, et ce qui reste est la limite. Pour les fonctions rationnelles, vous pouvez directement comparer les degrés du numérateur et du dénominateur.

### Quel est le lien entre limites à l'infini et asymptotes horizontales ?

Si $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$, alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale. Une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales différentes, une de chaque côté, comme dans l'exercice 12.

### Pourquoi la limite est-elle différente en moins l'infini ?

En général à cause d'une racine carrée ou d'une exponentielle. $\sqrt{x^2} = |x|$ vaut $-x$ pour $x$ négatif, et $e^x\to 0$ quand $x\to -\infty$ mais croît sans limite quand $x\to\infty$. Les polynômes et les fonctions rationnelles sans racine donnent souvent la même limite finie des deux côtés.