# Multiplicateurs de Lagrange : exercices corrigés avec réponses > 12 exercices corrigés sur les multiplicateurs de Lagrange : extremums sur une droite ou un cercle, point le plus proche, trois variables et sens de lambda. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-multiplicateurs-de-lagrange Mis à jour : 2026-11-06 $$ \nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 3 (analyse à plusieurs variables) - **Prérequis:** Les [dérivées partielles](/practice-problems/partial-derivatives) et la résolution de systèmes d'équations - **Idée clé:** En un extremum sous contrainte, le gradient de $f$ est colinéaire au gradient de la contrainte - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur les multiplicateurs de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) ## À retenir - Écrivez $\nabla f = \lambda\nabla g$ sous la forme d'une équation par variable, et ajoutez la contrainte elle-même. - Résolvez en éliminant $\lambda$ : divisez ou comparez les équations pour obtenir une relation entre les variables. - Remplacez chaque point candidat dans $f$. La plus grande valeur est le maximum et la plus petite le minimum. Ces **exercices sur les multiplicateurs de Lagrange** couvrent des problèmes à deux variables sur des droites et des cercles, des problèmes de point le plus proche, des problèmes à trois variables et la signification de $\lambda$. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées. La méthode, pour trouver les extremums de $f$ sous la contrainte $g = k$ : $$\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k$$ Résolvez le système, puis comparez les valeurs de $f$ en chaque solution. Pour la géométrie sous-jacente, lisez le [guide des multiplicateurs de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). ## Exercices **Contrainte sur une droite** 1. Maximisez $f(x, y) = xy$ sous la contrainte $x + y = 10$. 2. Minimisez $f(x, y) = x^2 + y^2$ sous la contrainte $x + y = 4$. 3. Trouvez le point de la droite $2x + y = 5$ le plus proche de l'origine. **Contrainte sur un cercle** 4. Trouvez le maximum et le minimum de $f(x, y) = x + y$ sur $x^2 + y^2 = 2$. 5. Trouvez le maximum et le minimum de $f(x, y) = xy$ sur $x^2 + y^2 = 8$. 6. Trouvez le maximum et le minimum de $f(x, y) = x^2y$ sur $x^2 + y^2 = 3$. 7. Trouvez le maximum et le minimum de $f(x, y) = 2x + 3y$ sur $x^2 + y^2 = 13$. **Trois variables et applications** 8. Maximisez $f(x, y, z) = xyz$ sous la contrainte $x + y + z = 12$, avec $x, y, z > 0$. 9. Trouvez le point du plan $x + 2y + 2z = 9$ le plus proche de l'origine. 10. Une boîte fermée a un volume de $8$. Trouvez les dimensions qui minimisent l'aire de sa surface. 11. Un rectangle a un périmètre de $40$. Trouvez son aire maximale. 12. Dans l'exercice 1, calculez $\lambda$. Utilisez-le pour estimer le nouveau maximum si la contrainte devient $x + y = 11$, et comparez avec la valeur exacte. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | Maximum $25$ en $(5, 5)$ | | 2 | Minimum $8$ en $(2, 2)$ | | 3 | $(2, 1)$, distance $\sqrt{5}$ | | 4 | Maximum $2$ en $(1, 1)$, minimum $-2$ en $(-1, -1)$ | | 5 | Maximum $4$ en $\pm(2, 2)$, minimum $-4$ en $\pm(2, -2)$ | | 6 | Maximum $2$ en $(\pm\sqrt{2}, 1)$, minimum $-2$ en $(\pm\sqrt{2}, -1)$ | | 7 | Maximum $13$ en $(2, 3)$, minimum $-13$ en $(-2, -3)$ | | 8 | Maximum $64$ en $(4, 4, 4)$ | | 9 | $(1, 2, 2)$, distance $3$ | | 10 | Un cube $2\times 2\times 2$, aire de la surface $24$ | | 11 | $100$, un carré $10\times 10$ | | 12 | $\lambda = 5$ ; estimation $30$, valeur exacte $30.25$ | ## Solutions détaillées **1.** $\nabla f = \langle y, x\rangle$ et $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$. Donc $y = \lambda$ et $x = \lambda$, ce qui donne $x = y$. La contrainte donne $x = y = 5$ et $f = 25$. **2.** $\langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle$, donc $x = y = 2$ et $f = 8$. Le long de la droite, $x^2 + y^2$ croît sans limite, donc c'est un minimum. **3.** Minimisez le carré de la distance $x^2 + y^2$. Alors $2x = 2\lambda$ et $2y = \lambda$, donc $x = 2y$. La contrainte donne $4y + y = 5$, donc $y = 1$ et $x = 2$. La distance vaut $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. **4.** $\langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle$, donc $x = y$. Alors $2x^2 = 2$, donc $x = \pm 1$. Comparez : $f(1, 1) = 2$ et $f(-1, -1) = -2$. **5.** $y = 2\lambda x$ et $x = 2\lambda y$. En multipliant : $xy = 4\lambda^2 xy$. Si $xy \neq 0$, alors $\lambda = \pm\frac{1}{2}$ et $x^2 = y^2$. La contrainte donne $x^2 = 4$. Les points $(2, 2)$ et $(-2, -2)$ donnent $4$ ; $(2, -2)$ et $(-2, 2)$ donnent $-4$. Si $xy = 0$, alors $f = 0$, qui n'est pas un extremum. **6.** $2xy = 2\lambda x$ et $x^2 = 2\lambda y$. Si $x \neq 0$, la première donne $\lambda = y$, et la seconde donne $x^2 = 2y^2$. La contrainte devient $3y^2 = 3$, donc $y = \pm 1$ et $x = \pm\sqrt{2}$. Alors $f = x^2y = 2y$, qui vaut $2$ ou $-2$. Le cas $x = 0$ donne $f = 0$. **7.** $2 = 2\lambda x$ et $3 = 2\lambda y$, donc $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ et $y = \frac{3}{2}x$. La contrainte donne $x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13$, donc $x^2 = 4$ et $x = \pm 2$. Les points $(2, 3)$ et $(-2, -3)$ donnent $13$ et $-13$. **8.** $yz = \lambda$, $xz = \lambda$ et $xy = \lambda$. En les comparant, on obtient $x = y = z$, donc chacun vaut $4$ et $f = 64$. **9.** Minimisez $x^2 + y^2 + z^2$. Alors $\langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle$, donc $(x, y, z) = t(1, 2, 2)$. La contrainte donne $t + 4t + 4t = 9$, donc $t = 1$. Le point est $(1, 2, 2)$ et la distance vaut $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. **10.** Minimisez $S = 2(xy + yz + xz)$ sous la contrainte $xyz = 8$. Les équations $2(y + z) = \lambda yz$, $2(x + z) = \lambda xz$ et $2(x + y) = \lambda xy$ donnent $x = y = z$. Alors $x^3 = 8$, donc la boîte est un cube $2\times 2\times 2$ avec $S = 24$. **11.** Maximisez $xy$ sous la contrainte $2x + 2y = 40$. Alors $y = 2\lambda$ et $x = 2\lambda$, donc $x = y = 10$ et l'aire vaut $100$. **12.** Dans l'exercice 1, $\lambda = x = 5$. Passer la contrainte de $10$ à $11$ devrait augmenter le maximum d'environ $5$, soit $30$. Le maximum exact pour $x + y = 11$ est $5.5^2 = 30.25$. C'est très proche. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Diviser par une variable qui peut valoir $0$.** Dans les exercices 5 et 6, étudiez séparément les cas $x = 0$ ou $y = 0$. - **Oublier l'équation de contrainte.** $\nabla f = \lambda\nabla g$ seule a trop d'inconnues. La contrainte fournit l'équation manquante. - **S'arrêter à un seul point.** Sur un cercle, il y a à la fois un maximum et un minimum. Trouvez toutes les solutions et comparez. - **Minimiser une distance avec une racine carrée.** Minimisez plutôt le carré de la distance. Le point de minimum est le même et les dérivées sont plus simples. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la [leçon sur les multiplicateurs de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) et la [leçon sur les points critiques et le test de la dérivée seconde](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test). Pour vous entraîner aux gradients dont ces exercices ont besoin, voyez les [exercices sur les dérivées partielles](/practice-problems/partial-derivatives). ## Questions fréquentes ### Comment résoudre les équations de Lagrange ? Écrivez chaque composante de $\nabla f = \lambda\nabla g$, isolez $\lambda$ dans chacune et égalez les résultats. On obtient une relation comme $x = y$ ou $x^2 = 2y^2$. Remplacez-la dans la contrainte. Attention aux cas où une variable vaut $0$ : diviser par elle ferait perdre des solutions. ### Comment savoir si un point est un maximum ou un minimum ? Sur une contrainte fermée et bornée comme un cercle, remplacez tous les candidats dans $f$ et comparez. Sur une contrainte non bornée comme une droite, regardez ce qui se passe loin : dans l'exercice 2, $x^2 + y^2$ croît sans limite le long de la droite, donc l'unique candidat est un minimum. ### Que signifie lambda ? C'est le taux de variation de la valeur optimale quand la valeur $k$ de la contrainte change. Si $\lambda = 5$, augmenter $k$ de $1$ augmente la meilleure valeur de $f$ d'environ $5$. L'exercice 12 le vérifie.