# Optimisation : exercices corrigés de problèmes concrets > 10 problèmes d'optimisation corrigés avec réponses et solutions complètes : clôtures, boîtes, canettes, point le plus proche, recette et trajet le plus rapide. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-optimisation Mis à jour : 2026-11-06 $$ f'(x) = 0 \;\text{ ou non définie} \;\Rightarrow\; \text{tester les points critiques et les bornes} $$ ## En bref - **Exercices:** 10 problèmes concrets, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 5 - **Prérequis:** Les points critiques, le test de la dérivée seconde et les formules d'aire et de volume de base - **Idée principale:** Écrire la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable, annuler sa dérivée, puis confirmer le maximum ou le minimum - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur l'optimisation](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) ## À retenir - Utilisez la contrainte pour écrire la grandeur cherchée en fonction d'une seule variable avant de dériver. - Précisez toujours le domaine. Sur un intervalle fermé, comparez les points critiques avec les bornes. - Confirmez qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum avec le test de la dérivée seconde ou un tableau de signes, puis répondez à la question posée. Ces **exercices d'optimisation** demandent la plus grande ou la plus petite valeur d'une grandeur concrète : une aire, un volume, une distance, un coût ou une durée. Mettez chaque problème en équation vous-même avant de vérifier. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes. Chaque problème suit les mêmes étapes : 1. Faire un schéma et nommer les variables. 2. Écrire la grandeur à optimiser (la fonction objectif). 3. Utiliser la contrainte pour l'écrire en fonction d'une seule variable, et déterminer le domaine. 4. Annuler la dérivée en la posant égale à $0$ et résoudre. 5. Confirmer qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, puis répondre à la question avec les unités. Pour en savoir plus sur la méthode, lisez le [guide des problèmes d'optimisation](/blog/optimization-problems). ## Exercices **Nombres** 1. Deux nombres positifs ont pour somme $20$. Quel est le plus grand produit possible ? 2. Deux nombres positifs ont pour produit $16$. Quelle est la plus petite somme possible ? **Clôtures et boîtes** 3. **Clôture le long d'une rivière.** Un agriculteur dispose de $240$ m de clôture pour faire un enclos rectangulaire le long d'une rivière rectiligne. Aucune clôture n'est nécessaire le long de la rivière. Quelles dimensions donnent la plus grande aire ? 4. **Boîte ouverte.** On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton de $12$ pouces sur $12$ pouces en découpant des carrés égaux à chaque coin et en repliant les bords. Quelle taille de carrés donne le plus grand volume ? 5. **Boîte à base carrée.** Une boîte sans couvercle à base carrée doit contenir $32{,}000$ cm³. Quelles dimensions utilisent le moins de matériau ? 6. **Boîte de conserve.** Une boîte cylindrique fermée doit contenir $500$ cm³. Quels rayon et hauteur utilisent le moins de métal ? **Géométrie et distance** 7. **Rectangle dans un demi-cercle.** Un rectangle est inscrit dans un demi-cercle de rayon $10$, sa base reposant sur le diamètre. Quelle est la plus grande aire possible ? 8. **Point le plus proche.** Quel point de la courbe $y = \sqrt{x}$ est le plus proche du point $(3, 0)$ ? **Économie et déplacement** 9. **Prix du billet.** Au prix de $p$ dollars, un théâtre vend $600 - 20p$ billets. Quel prix donne la plus grande recette ? 10. **Barque.** Vous êtes dans une barque à $3$ km d'un rivage rectiligne. Vous voulez rejoindre une ville sur le rivage, située à $8$ km le long de la côte à partir du point le plus proche. Vous ramez à $2$ km/h et marchez à $4$ km/h. Où devez-vous accoster pour arriver le plus tôt possible ? ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $10$ et $10$, produit $100$ | | 2 | $4$ et $4$, somme $8$ | | 3 | $60$ m sur $120$ m (le grand côté le long de la rivière), aire $7200$ m² | | 4 | Carrés de $2$ pouces, volume $128$ pouces³ | | 5 | Base de $40$ cm sur $40$ cm, hauteur $20$ cm, $4800$ cm² de matériau | | 6 | $r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4.30$ cm, $h = 2r \approx 8.60$ cm | | 7 | $100$ (largeur $10\sqrt{2}$, hauteur $5\sqrt{2}$) | | 8 | $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) \approx (2.5, 1.58)$, distance $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$ | | 9 | $p = 15$ dollars, recette $4500$ dollars | | 10 | Accoster à $\sqrt{3} \approx 1.73$ km le long de la côte, durée totale $\approx 3.30$ h | ## Solutions détaillées **1.** Notons les nombres $x$ et $20 - x$, avec $0 < x < 20$. On maximise $P = x(20 - x) = 20x - x^2$ : $$P' = 20 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10$$ $P'' = -2 < 0$, donc c'est un maximum. Les nombres sont $10$ et $10$, et le produit vaut $100$. **2.** Notons les nombres $x$ et $\frac{16}{x}$, avec $x > 0$. On minimise $S = x + \frac{16}{x}$ : $$S' = 1 - \frac{16}{x^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$ $S'' = \frac{32}{x^3} > 0$, donc c'est un minimum. Les nombres sont $4$ et $4$, et la somme vaut $8$. **3.** Soit $x$ la longueur de chaque côté perpendiculaire à la rivière. Le côté le long de la rivière mesure $240 - 2x$, avec $0 < x < 120$. On maximise $$A = x(240 - 2x) = 240x - 2x^2, \qquad A' = 240 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 60$$ $A'' = -4 < 0$, donc c'est un maximum. L'enclos mesure $60$ m sur $120$ m, pour une aire de $7200$ m². **4.** Soit $x$ le côté de chaque carré. La base mesure $12 - 2x$ de côté et la hauteur vaut $x$, avec $0 < x < 6$ : $$V = x(12 - 2x)^2$$ Utilisez la règle du produit et factorisez : $$V' = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$$ $V' = 0$ en $x = 6$ (une borne, où $V = 0$) et en $x = 2$. Comme $V$ vaut $0$ aux deux bornes et est positif entre les deux, $x = 2$ donne le maximum : $V = 2\cdot 8^2 = 128$ pouces³. **5.** Notons $x$ sur $x$ la base et $h$ la hauteur. La contrainte est $x^2h = 32000$, donc $h = \frac{32000}{x^2}$. Le matériau correspond à la base plus les quatre faces latérales : $$S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128000}{x}, \qquad S' = 2x - \frac{128000}{x^2} = 0$$ Donc $x^3 = 64000$ et $x = 40$. Alors $h = \frac{32000}{1600} = 20$. Comme $S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0$, c'est un minimum, et $S = 1600 + 3200 = 4800$ cm². **6.** Une boîte fermée a deux disques et une surface latérale : $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. La contrainte $\pi r^2h = 500$ donne $h = \frac{500}{\pi r^2}$ : $$S = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S' = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{250}{\pi}$$ Donc $r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30$ cm. $S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$, donc c'est un minimum. Ensuite $h = \frac{500}{\pi r^2}$. Comme $\pi r^3 = 250$, cela donne $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60$ cm. La meilleure boîte est aussi haute que large. **7.** Placez le centre du demi-cercle à l'origine. Un coin du rectangle est en $(x, y)$ sur la courbe $y = \sqrt{100 - x^2}$. La largeur vaut $2x$ : $$A = 2x\sqrt{100 - x^2}, \qquad 0 \le x \le 10$$ $$A' = 2\sqrt{100 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{2(100 - 2x^2)}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 50$$ Donc $x = 5\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. L'aire vaut $2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100$. Aux bornes, $A = 0$, donc c'est le maximum. **8.** Un point de la courbe s'écrit $(x, \sqrt{x})$. On minimise le carré de la distance, qui atteint son minimum au même endroit et se dérive plus facilement : $$D^2 = (x - 3)^2 + x, \qquad \frac{d}{dx}D^2 = 2(x - 3) + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}$$ La dérivée seconde vaut $2 > 0$, donc c'est un minimum. Le point est $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ et la distance vaut $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$. **9.** La recette est le prix multiplié par le nombre de billets vendus, avec $0 \le p \le 30$ : $$R = p(600 - 20p) = 600p - 20p^2, \qquad R' = 600 - 40p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = 15$$ $R'' = -40 < 0$, donc c'est un maximum. Le théâtre vend $300$ billets pour $R = 4500$ dollars. **10.** Accostez à $x$ km du point le plus proche, avec $0 \le x \le 8$. La distance à la rame est $\sqrt{9 + x^2}$ et la distance à pied est $8 - x$. La durée est la distance divisée par la vitesse : $$T = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} + \frac{8 - x}{4}, \qquad T' = \frac{x}{2\sqrt{9 + x^2}} - \frac{1}{4} = 0$$ Donc $2x = \sqrt{9 + x^2}$, ce qui donne $4x^2 = 9 + x^2$ et $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Comparez avec les bornes : | Point d'accostage | Durée | | --- | --- | | $x = 0$ | $1.5 + 2 = 3.5$ h | | $x = \sqrt{3}$ | $2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 3.30$ h | | $x = 8$ | $\frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27$ h | Accoster à $\sqrt{3}$ km le long de la côte est le plus rapide. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Dériver avec deux variables.** Dans l'exercice 5, utilisez le volume pour remplacer $h$ avant de dériver. - **Oublier les bornes.** Sur un intervalle fermé comme dans l'exercice 10, la meilleure réponse peut se trouver à une borne. Comparez toujours. - **Répondre à la mauvaise question.** L'exercice 4 demande la taille des carrés, donc la réponse est $2$ pouces, pas seulement le volume. - **Oublier que le côté rivière est gratuit.** Dans l'exercice 3, il n'y a que trois côtés de clôture : $2x + y = 240$. ## Continuer à s'entraîner Ces 10 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres et une correction immédiate à chaque étape, essayez la [leçon sur l'optimisation](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) et la [leçon sur les extremums globaux](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema). Pour comprendre pourquoi la méthode des points critiques fonctionne, lisez les pages sur le [théorème de Fermat](/theorems/fermats-theorem) et le [théorème des bornes atteintes](/theorems/extreme-value-theorem), ou entraînez-vous à trouver des extremums avec les [exercices sur l'étude de fonctions](/practice-problems/curve-sketching). ## Questions fréquentes ### Comment résoudre un problème d'optimisation en analyse ? Faites un schéma et nommez les variables. Écrivez la grandeur à maximiser ou minimiser, puis utilisez la contrainte pour la ramener à une seule variable. Déterminez le domaine, annulez la dérivée, testez les points critiques et les bornes, et répondez par une phrase avec les unités. ### Qu'est-ce que la contrainte dans un problème d'optimisation ? C'est la condition imposée, comme « 240 m de clôture » ou « un volume de 500 cm³ ». Elle donne une équation qui permet d'exprimer une variable en fonction de l'autre, si bien que la fonction objectif ne dépend plus que d'une seule variable. ### Comment savoir si on a trouvé un maximum ou un minimum ? Utilisez le test de la dérivée seconde : $f''(c) < 0$ indique un maximum local et $f''(c) > 0$ un minimum local. S'il n'y a qu'un seul point critique sur un intervalle, ce maximum ou minimum local est aussi global. Sur un intervalle fermé, vous pouvez aussi simplement comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.