# Primitives : exercices corrigés avec réponses et solutions > 12 exercices corrigés sur les primitives avec solutions détaillées : règle de la puissance, trigonométrie, exponentielles et conditions initiales. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-primitives Mis à jour : 2026-11-06 $$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées - **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 6 - **Prérequis:** La [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule) et les dérivées usuelles - **Idée clé:** Se demander quelle fonction a cette dérivée, puis ajouter $+C$ - **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçons sur les primitives](/learn/calculus-1/integrals/undoing-derivatives) ## À retenir - Appliquez la règle de la puissance inverse terme à terme : ajoutez un à l'exposant et divisez par le nouvel exposant. - Réécrivez les racines et les fractions sous forme de puissances avant d'intégrer, et retenez que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. - Avec une condition initiale, trouvez d'abord la primitive générale, puis utilisez le point donné pour déterminer $C$. Ces **exercices sur les primitives** commencent par la règle de la puissance et vont jusqu'aux fonctions trigonométriques, exponentielles et aux problèmes avec condition initiale. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses sont données d'abord pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées. La règle que vous utiliserez le plus : $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$ Ajoutez un à l'exposant, divisez par le nouvel exposant et ajoutez $+C$. La seule exception est $n = -1$, où $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Pour un rappel, lisez la page sur la [règle de la puissance inverse](/rules/reverse-power-rule). ## Exercices **Règle de la puissance** 1. $\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$ 2. $\displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx$ 4. $\displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx$ **Trigonométrie et exponentielle** 5. $\displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx$ 7. $\displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx$ **Simplifier d'abord** 8. $\displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx$ 9. $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx$ **Problèmes avec condition initiale** 10. Trouvez $f(x)$ sachant que $f'(x) = 6x^2 - 4$ et $f(1) = 5$. 11. Trouvez $f(x)$ sachant que $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 3$ et $f(0) = -1$. 12. Une particule a pour vitesse $v(t) = 3t^2 - 2t$ et pour position $s(0) = 4$. Calculez $s(2)$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $x^4 - 3x^2 + 2x + C$ | | 2 | $2x^{3/2} + C$ | | 3 | $-\dfrac{1}{2x^2} + C$ | | 4 | $5\ln\lvert x\rvert + C$ | | 5 | $2e^x + \sin x + C$ | | 6 | $\tan x + 3\cos x + C$ | | 7 | $4\arctan x + C$ | | 8 | $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C$ | | 9 | $\dfrac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$ | | 10 | $f(x) = 2x^3 - 4x + 7$ | | 11 | $f(x) = 2x^3 + 3x - 1$ | | 12 | $s(2) = 8$ | ## Solutions détaillées **1.** Intégrez terme à terme. $4x^3$ devient $x^4$, $-6x$ devient $-3x^2$ et $2$ devient $2x$ : $$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C$$ **2.** Écrivez $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Le nouvel exposant est $\frac{3}{2}$, donc divisez par $\frac{3}{2}$ : $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$$ **3.** Écrivez $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. Le nouvel exposant est $-2$ : $$\frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$ **4.** C'est le cas $n = -1$, donc la règle de la puissance ne s'applique pas. Utilisez la règle du logarithme (voir l'[intégrale de 1/x](/integrals/1-over-x)) : $$\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x| + C$$ **5.** La dérivée de $e^x$ est $e^x$ et la dérivée de $\sin x$ est $\cos x$, donc : $$\int (2e^x + \cos x)\,dx = 2e^x + \sin x + C$$ **6.** La dérivée de $\tan x$ est $\sec^2 x$. Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$, donc $-3\sin x$ donne $+3\cos x$ : $$\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx = \tan x + 3\cos x + C$$ **7.** La dérivée de $\arctan x$ est $\frac{1}{1+x^2}$ : $$\int \frac{4}{1+x^2}\,dx = 4\arctan x + C$$ **8.** Développez d'abord : $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$. Puis intégrez chaque terme : $$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$$ **9.** Séparez la fraction : $\frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}$. Alors : $$\frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$$ **10.** La primitive générale est $f(x) = 2x^3 - 4x + C$. Avec $f(1) = 5$ : $2 - 4 + C = 5$, donc $C = 7$ : $$f(x) = 2x^3 - 4x + 7$$ **11.** Intégrez deux fois, en utilisant une condition à chaque fois. D'abord $f'(x) = 6x^2 + C_1$, et $f'(0) = 3$ donne $C_1 = 3$. Puis $f(x) = 2x^3 + 3x + C_2$, et $f(0) = -1$ donne $C_2 = -1$ : $$f(x) = 2x^3 + 3x - 1$$ **12.** La position est une primitive de la vitesse : $s(t) = t^3 - t^2 + C$. Comme $s(0) = 4$, $C = 4$. Alors : $$s(2) = 8 - 4 + 4 = 8$$ ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier $+C$.** Une intégrale indéfinie représente toute une famille de fonctions. Oublier $+C$ coûte des points dans la plupart des contrôles. - **Appliquer la règle de la puissance à $\frac{1}{x}$.** On obtiendrait $\frac{x^0}{0}$, qui n'est pas défini. La réponse est $\ln|x| + C$. - **Erreurs de signe avec sinus et cosinus.** Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$, pas $\cos x$. Dérivez votre résultat pour vérifier. - **Intégrer un produit facteur par facteur.** Dans l'exercice 8, $\int (x^2+1)^2\,dx$ n'est pas $\frac{(x^2+1)^3}{3}$. Développez d'abord, ou vérifiez en dérivant. - **Déterminer $C$ trop tard.** Dans l'exercice 11, trouvez $C_1$ avant d'intégrer à nouveau, sinon il vous restera un terme inconnu $C_1 x$. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la règle de la puissance inverse](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) et la [leçon sur les intégrales trigonométriques et exponentielles](/learn/calculus-1/integrals/trig-exponential-integrals). Quand les primitives vous semblent faciles, passez aux [exercices sur les intégrales définies](/practice-problems/definite-integrals) et aux [exercices sur le changement de variable](/practice-problems/u-substitution). Pour comprendre les idées, lisez le [guide des primitives](/blog/antiderivatives). ## Questions fréquentes ### Comment vérifier une primitive ? Dérivez votre résultat. Si vous retrouvez la fonction de départ, la primitive est juste. Cette vérification prend quelques secondes et repère la plupart des erreurs de signe et de coefficient. ### Pourquoi ajoute-t-on +C à une primitive ? Toute constante a une dérivée nulle, donc $x^2$, $x^2 + 5$ et $x^2 - 3$ ont toutes pour dérivée $2x$. Le $+C$ les représente toutes à la fois. Une condition initiale fixe une seule valeur de $C$. ### Existe-t-il une règle du produit pour les primitives ? Non. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. Développez ou simplifiez d'abord, comme dans l'exercice 8 ci-dessous, ou utilisez un [changement de variable](/practice-problems/u-substitution) ou une intégration par parties pour les produits plus difficiles.