# Règle de L'Hôpital : exercices corrigés avec réponses

> 12 exercices corrigés sur la règle de L'Hôpital avec solutions détaillées : formes 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ et formes exponentielles comme 1^∞ et 0^0.

Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-regle-de-l-hopital
Mis à jour : 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## En bref

- **Exercices:** 12, avec réponses et solutions détaillées
- **Niveau:** Calculus 1 (première année d'analyse) et AP Calculus AB, Unit 4
- **Prérequis:** Les règles de dérivation de base et les [limites à l'infini](/practice-problems/limits-at-infinity)
- **Idée clé:** Vérifier qu'on a 0/0 ou ∞/∞, puis dériver séparément le numérateur et le dénominateur
- **S''entraîner avec de nouvelles valeurs:** [Leçon sur la règle de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule)

## À retenir

- N'utilisez la règle que sur $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Vérifiez la forme à chaque fois, y compris avant une deuxième application.
- Dérivez séparément le numérateur et le dénominateur. N'utilisez pas la règle du quotient.
- Réécrivez d'abord $0\cdot\infty$ et $\infty-\infty$ sous forme d'une seule fraction, et traitez $1^\infty$, $0^0$ et $\infty^0$ en prenant le logarithme népérien.

Ces **exercices sur la règle de L'Hôpital** couvrent les sept formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ et $\infty^0$. Le dernier exercice est un piège où la règle ne s'applique pas. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

La règle :

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad\text{si la première limite est } \tfrac{0}{0} \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}$$

Pour l'énoncé complet et la raison pour laquelle elle fonctionne, consultez la page sur la [règle de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule).

## Exercices

**Formes 0/0**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$

**Formes ∞/∞**

4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

**Produits et différences**

6. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$

**Formes exponentielles**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$
10. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

**Vérifiez avant de commencer**

12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}$

## Réponses

| Exercice | Réponse |
| --- | --- |
| 1 | $2$ |
| 2 | $1$ |
| 3 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 4 | $0$ |
| 5 | $0$ |
| 6 | $0$ |
| 7 | $1$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 9 | $1$ |
| 10 | $1$ |
| 11 | $e^3$ |
| 12 | $3$ (L'Hôpital ne s'applique pas) |

## Solutions détaillées

**1.** La substitution donne $\frac{0}{0}$. Dérivez le numérateur et le dénominateur :

$$\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$$

**2.** La substitution donne $\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$ :

$$\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1} = 1$$

**3.** Chaque application donne encore $\frac{0}{0}$, donc appliquez la règle trois fois :

$$\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**4.** C'est une forme $\frac{\infty}{\infty}$. Deux applications :

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x} = 0$$

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ (croissances comparées).

**5.** Encore $\frac{\infty}{\infty}$ :

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$

Toute puissance positive de $x$ l'emporte sur le logarithme.

**6.** C'est une forme $0\cdot(-\infty)$. Faites passer $x$ au dénominateur sous la forme $\frac{1}{x}$ pour obtenir $\frac{-\infty}{\infty}$ :

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$$

**7.** C'est une forme $\infty\cdot 0$. Réécrivez sous la forme $\frac{\sin(1/x)}{1/x}$, qui est $\frac{0}{0}$. Posez $t = \frac{1}{x}$, donc $t\to 0^+$ :

$$\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{\cos t}{1} = 1$$

**8.** C'est une forme $\infty - \infty$. Réduisez en une seule fraction :

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$

C'est $\frac{0}{0}$. Dérivez : c'est encore $\frac{0}{0}$, donc dérivez à nouveau :

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2e^x + xe^x} = \frac{1}{2}$$

**9.** C'est une forme $0^0$. Notez $L$ la limite et prenez le logarithme. L'exercice 6 a déjà donné cette limite :

$$\ln L = \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad L = e^0 = 1$$

**10.** C'est une forme $\infty^0$. Prenez le logarithme :

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad L = 1$$

**11.** C'est une forme $1^\infty$. Prenez le logarithme, puis écrivez le produit comme une fraction de forme $\frac{0}{0}$ :

$$\ln L = \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1 + \frac{3}{x}\right)}{1/x}$$

Dérivez le numérateur, $\frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right)$, et le dénominateur, $-\frac{1}{x^2}$ :

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{3}{1 + \frac{3}{x}} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = e^3$$

**12.** Remplacez d'abord : $\frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$. C'est un nombre réel, donc la limite vaut $3$ et c'est terminé. Utiliser L'Hôpital ici donnerait $\frac{2x}{1}\to 0$, ce qui est faux, car la règle ne fonctionne que sur les formes indéterminées.

## Erreurs fréquentes sur ces exercices

- **Utiliser la règle du quotient.** L'Hôpital signifie $\frac{f'}{g'}$, pas $\left(\frac{f}{g}\right)'$. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément.
- **Sauter la vérification.** L'exercice 12 montre ce qui se passe : la règle donne une réponse fausse quand la forme n'est pas indéterminée.
- **Oublier de revenir du logarithme.** Dans les exercices 9 à 11, vous trouvez d'abord $\ln L$. La réponse de l'exercice 11 est $e^3$, pas $3$.
- **Appliquer la règle directement à un produit.** Dans l'exercice 6, il faut réécrire $x\ln x$ sous forme de fraction avant de dériver.

## Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles limites à chaque fois et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la règle de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule). Pour plus d'exemples corrigés et le raisonnement derrière chaque forme indéterminée, lisez le [guide de la règle de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule). Pour revoir d'abord les méthodes algébriques, revenez aux [exercices sur le calcul de limites](/practice-problems/evaluating-limits).

## Questions fréquentes

### Quand peut-on utiliser la règle de L'Hôpital ?

Seulement quand la substitution directe donne $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, et que le numérateur et le dénominateur sont dérivables au voisinage du point. Les autres formes indéterminées doivent d'abord être réécrites sous l'une de ces deux formes.

### Peut-on utiliser la règle de L'Hôpital plusieurs fois ?

Oui, tant que la nouvelle limite est encore $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. L'exercice 3 ci-dessous demande trois applications. Vérifiez la forme avant chacune, car dès qu'elle n'est plus indéterminée, il faut remplacer.

### Comment utiliser la règle de L'Hôpital sur la forme 1 puissance infini ?

Notez $L$ la limite et prenez le logarithme népérien : $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. La puissance devient un produit, que vous réécrivez sous forme de fraction avant d'appliquer L'Hôpital. Puis $L = e^{\ln L}$. L'exercice 11 le montre et donne $e^3$.