# Règle de la puissance : exercices corrigés de dérivation > 12 exercices corrigés sur la dérivée de x^n : polynômes, exposants négatifs et fractionnaires, racines et tangentes, avec réponses et solutions détaillées. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-regle-de-la-puissance Mis à jour : 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1} $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 2 - **Prérequis:** Les règles sur les exposants, surtout $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ et $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ - **Idée principale:** Écrire sous forme de puissance de x, descendre l'exposant, puis lui retirer 1 - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçons sur la règle de la puissance](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) ## À retenir - Écrivez les racines et les fractions sous forme de puissances de $x$ avant de dériver. - Retirer 1 à un exposant négatif le rend encore plus négatif : $x^{-2}$ devient $-2x^{-3}$. - Développez d'abord les produits et séparez les quotients dont le dénominateur n'a qu'un seul terme. La règle de la puissance traite alors chaque terme séparément. Ces **exercices sur la règle de la puissance** commencent par des puissances simples et des polynômes, puis passent aux exposants négatifs et fractionnaires, aux expressions à réécrire avant de dériver et aux tangentes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes. La règle : $$\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}$$ Vous utiliserez aussi la [dérivée d'une somme et d'une différence](/rules/sum-and-difference-rule) et la [règle du multiple constant](/rules/constant-multiple-rule) dans presque tous les exercices. Pour un rappel, lisez la page sur la [règle de la puissance](/rules/power-rule). ## Exercices **Puissances et polynômes** 1. $y = x^7$ 2. $y = 4x^5$ 3. $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9$ **Exposants négatifs et fractionnaires** 4. $y = \dfrac{1}{x^3}$ 5. $y = 6\sqrt{x}$ 6. $y = \sqrt[3]{x^2}$ 7. $y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ **Réécrire d'abord** 8. $y = (2x + 1)(x - 3)$ 9. $y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}$ 10. $y = x^\pi + \pi^2$ **Tangentes** 11. Déterminez la tangente à $y = x^3 - 2x$ en $x = 2$. 12. Déterminez les points où $y = x^3 - 3x^2$ admet une tangente horizontale. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $7x^6$ | | 2 | $20x^4$ | | 3 | $12x^3 - 6x^2 + 5$ | | 4 | $-\dfrac{3}{x^4}$ | | 5 | $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ | | 6 | $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{x^{3/2}}$ | | 8 | $4x - 5$ | | 9 | $2x - \dfrac{4}{x^3}$ | | 10 | $\pi x^{\pi - 1}$ | | 11 | $y = 10x - 16$ | | 12 | $(0, 0)$ et $(2, -4)$ | ## Solutions détaillées **1.** Descendez le $7$ et retirez $1$ à l'exposant : $$y' = 7x^6$$ **2.** La constante $4$ reste simplement en facteur : $$y' = 4\cdot 5x^4 = 20x^4$$ **3.** Dérivez terme à terme. La dérivée de $5x$ est $5$ et celle de la constante $-9$ est $0$ : $$y' = 12x^3 - 6x^2 + 5$$ **4.** Écrivez $y = x^{-3}$. Alors $-3 - 1 = -4$ : $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$ **5.** Écrivez $y = 6x^{1/2}$ : $$y' = 6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$$ **6.** Écrivez $y = x^{2/3}$. Alors $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ : $$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ **7.** Écrivez les deux termes comme des puissances : $y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}$. $$y' = -10x^{-3} - 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{10}{x^3} + \frac{1}{x^{3/2}}$$ **8.** Développez d'abord : $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. $$y' = 4x - 5$$ La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Développer évite ce piège, sinon utilisez la [règle du produit](/rules/product-rule). **9.** Le dénominateur n'a qu'un seul terme, donc séparez la fraction : $$y = x^2 - 3 + 2x^{-2} \quad\Rightarrow\quad y' = 2x - 4x^{-3} = 2x - \frac{4}{x^3}$$ **10.** $\pi$ est un exposant constant, donc la règle de la puissance s'applique à $x^\pi$. Le terme $\pi^2 \approx 9.87$ n'est qu'un nombre, donc sa dérivée vaut $0$ : $$y' = \pi x^{\pi - 1}$$ **11.** Le point est $y(2) = 8 - 4 = 4$. La pente est $y' = 3x^2 - 2$, donc $y'(2) = 10$ : $$y - 4 = 10(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = 10x - 16$$ **12.** Une tangente horizontale a une pente égale à $0$ : $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 2$$ Les points sont $(0, 0)$ et $(2, 8 - 12) = (2, -4)$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Se tromper de sens avec les exposants négatifs.** Dans l'exercice 4, $x^{-3}$ devient $-3x^{-4}$, et non $-3x^{-2}$. Retirer 1 fait toujours aller vers la gauche sur la droite des réels. - **Dériver une racine sans la réécrire.** Écrivez $\sqrt[3]{x^2}$ sous la forme $x^{2/3}$ avant de commencer. - **Dériver un produit facteur par facteur.** Dans l'exercice 8, $(2)(1) = 2$ est faux. Développez ou utilisez la règle du produit. - **Traiter $\pi^2$ comme une variable.** Dans l'exercice 10, $\pi^2$ est une constante, donc sa dérivée vaut $0$, et non $2\pi$. ## Continuer à s'entraîner Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres à chaque fois et une correction immédiate, essayez la [leçon sur la règle de la puissance](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule), puis l'[entraînement sur la règle de la puissance](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule-practice). Pour plus d'exemples et le raisonnement derrière la règle, lisez le [guide de la règle de la puissance](/blog/power-rule). Ensuite, essayez les [exercices sur les règles du produit et du quotient](/practice-problems/product-and-quotient-rules). ## Questions fréquentes ### Quelle est la règle de la puissance pour les dérivées ? Pour tout réel $n$, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. On descend l'exposant en coefficient, puis on diminue l'exposant de un. Elle fonctionne pour les exposants entiers, négatifs et fractionnaires. ### Comment utiliser la règle de la puissance avec une racine carrée ? Écrivez la racine comme une puissance fractionnaire, par exemple $\sqrt{x} = x^{1/2}$ et $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Appliquez ensuite la règle : $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. ### La règle de la puissance s'applique-t-elle à e puissance x ? Non. La règle de la puissance concerne une base variable et un exposant constant, comme $x^3$. Dans $e^x$, la variable est dans l'exposant, donc on utilise $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Pour une constante comme $\pi^2$, la dérivée vaut $0$.