# Séries de Taylor : exercices corrigés avec solutions > 12 exercices corrigés sur les séries de Taylor et de Maclaurin : construire une série, polynômes de Taylor, estimations avec erreur, limites et sommes. Source : https://practicecalculus.com/fr/exercices-corriges/exercices-series-de-taylor Mis à jour : 2026-11-06 $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $$ ## En bref - **Exercices:** 12, avec réponses et solutions complètes - **Niveau:** Analyse 2 et AP Calculus BC, unité 10 - **Prérequis:** Les dérivées, les factorielles et les [séries entières](/practice-problems/power-series) - **Idée principale:** Faire coïncider les dérivées de $f$ en un point, puis utiliser la série pour approcher, calculer des limites ou sommer - **S'entraîner avec de nouveaux nombres:** [Leçon sur les séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) ## À retenir - Le coefficient de $(x - a)^n$ est $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Divisez par la factorielle à chaque fois. - Construisez de nouvelles séries à partir de séries connues ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1 - x}$) par substitution, multiplication ou intégration plutôt qu'en calculant de nombreuses dérivées. - Lisez les dérivées sur une série : $f^{(n)}(0) = n!\times$ (coefficient de $x^n$). Ces **exercices sur les séries de Taylor** portent sur la construction de séries de Maclaurin et de Taylor, les polynômes de Taylor, les estimations avec majoration de l'erreur, et l'utilisation des séries pour calculer des limites, des dérivées et des sommes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes. La formule : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$ Pour le raisonnement et d'autres exemples, lisez le [guide des séries de Taylor](/blog/taylor-series). ## Exercices **Construire des séries** 1. Trouvez les quatre premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de $e^{2x}$. 2. Trouvez les trois premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de $\cos(x^2)$. 3. Trouvez les quatre premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de $x\,e^{-x}$. 4. Trouvez la série de Taylor de $\ln x$ centrée en $a = 1$. 5. Trouvez le polynôme de Taylor de degré 3 de $\sqrt{x}$ centré en $a = 4$. 6. Utilisez la série de $\frac{1}{1 + x^2}$ pour trouver la série de Maclaurin de $\arctan x$. **Estimations** 7. Utilisez le polynôme de Taylor de degré 2 de l'exercice 5 pour estimer $\sqrt{4.1}$. 8. Estimez $\sin(0.5)$ avec $x - \frac{x^3}{6}$, et majorez l'erreur. **Utiliser les séries** 9. Calculez $f^{(10)}(0)$ pour $f(x) = x^2\cos x$. 10. Calculez $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$. 11. Calculez $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$. 12. Calculez la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}$. ## Réponses | Exercice | Réponse | | --- | --- | | 1 | $1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$ | | 2 | $1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24}$ | | 3 | $x - x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{6}$ | | 4 | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x - 1)^n}{n}$ | | 5 | $2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(x - 4)^3}{512}$ | | 6 | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ | | 7 | $\approx 2.0248438$ | | 8 | $\approx 0.479167$, erreur inférieure à $0.00027$ | | 9 | $90$ | | 10 | $-\frac{1}{6}$ | | 11 | $\frac{1}{2}$ | | 12 | $-1$ | ## Solutions détaillées **1.** Remplacez $x$ par $2x$ dans $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$ : $$1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$$ **2.** Remplacez $x$ par $x^2$ dans $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$ : $$1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots$$ **3.** $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$. Multipliez chaque terme par $x$. **4.** Pour $f(x) = \ln x$ : $f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, $f'''(1) = 2$, et en général $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!$. Divisez par $n!$ pour obtenir $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ : $$\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots$$ **5.** Calculez les dérivées en $x = 4$ : | | Valeur en 4 | Divisée par $n!$ | | --- | --- | --- | | $f = x^{1/2}$ | $2$ | $2$ | | $f' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | | $f'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ | $-\frac{1}{32}$ | $-\frac{1}{64}$ | | $f''' = \frac{3}{8}x^{-5/2}$ | $\frac{3}{256}$ | $\frac{1}{512}$ | **6.** $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ pour $|x| < 1$. Intégrez terme à terme de $0$ à $x$ : $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$ **7.** Avec $x - 4 = 0.1$ : $$2 + \frac{0.1}{4} - \frac{0.01}{64} = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$$ La vraie valeur est $2.0248457\ldots$, donc l'estimation est fausse d'environ $0.000002$. **8.** $0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167$. La série est alternée avec des termes décroissants, donc l'erreur est inférieure au terme suivant, $\frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026$. La vraie valeur est $0.479426$, soit un écart de $0.000259$. **9.** $x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots$. Le coefficient de $x^{10}$ est $\frac{1}{8!}$, et il vaut aussi $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$ : $$f^{(10)}(0) = \frac{10!}{8!} = 10\cdot 9 = 90$$ **10.** $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$. Divisez par $x^3$ : $-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}$. **11.** $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$. Divisez par $x^2$ : $\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}$. **12.** C'est la série du cosinus $\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ avec $x = \pi$, donc la somme vaut $\cos\pi = -1$. ## Erreurs fréquentes sur ces exercices - **Oublier la factorielle.** Le coefficient est $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, et non $f^{(n)}(a)$. Dans l'exercice 5, $f''(4) = -\frac{1}{32}$ mais le coefficient vaut $-\frac{1}{64}$. - **Dériver quand une substitution suffit.** Dériver $\cos(x^2)$ huit fois est long. Substituez dans la série connue. - **Utiliser $x$ au lieu de $x - a$.** Une série de Taylor en $a = 4$ utilise des puissances de $(x - 4)$. - **Confondre quel coefficient donne quelle dérivée.** Dans l'exercice 9, le coefficient de $x^{10}$ vient du terme $n = 4$ du cosinus, et on multiplie par $10!$. ## Continuer à s'entraîner Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la [leçon sur les polynômes de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials), la [leçon sur les séries de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) et la [leçon sur les estimations avec Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor). Essayez ensuite les [exercices sur les courbes paramétrées et polaires](/practice-problems/parametric-and-polar), qui terminent la même unité d'Analyse 2. ## Questions fréquentes ### Quelle est la différence entre une série de Taylor et une série de Maclaurin ? Une série de Maclaurin est une série de Taylor centrée en $a = 0$. Une série de Taylor peut être centrée en n'importe quel point, comme dans les exercices 4 et 5 ci-dessous. ### Quelles séries de Maclaurin faut-il connaître par cœur ? $e^x = \sum\frac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ et $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$. La plupart des autres séries des examens s'en déduisent par substitution, multiplication ou intégration. ### Quelle est la précision d'un polynôme de Taylor ? Pour une série alternée, l'erreur est au plus égale au premier terme omis. En général, l'inégalité de Taylor-Lagrange indique que l'erreur est au plus $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$, où $M$ majore $|f^{(n+1)}|$ entre $a$ et $x$. Voir le [théorème de Taylor](/theorems/taylors-theorem).